Preálgebra Ejemplos

$\frac{4}{p^{2} + 7 p - 18} = \frac{6}{p + 9} - \frac{4}{p - 2}$

Paso 1

Factoriza $p^{2} + 7 p - 18$ con el método AC.

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Paso 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 18$ y cuya suma es $7$ .

$- 2, 9$

Paso 1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{4}{(p - 2) (p + 9)} = \frac{6}{p + 9} - \frac{4}{p - 2}$

Paso 2

Simplifica $\frac{6}{p + 9} - \frac{4}{p - 2}$ .

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Paso 2.1

Para escribir $\frac{6}{p + 9}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{p - 2}{p - 2}$ .

$\frac{4}{(p - 2) (p + 9)} = \frac{6}{p + 9} \cdot \frac{p - 2}{p - 2} - \frac{4}{p - 2}$

Paso 2.2

Para escribir $- \frac{4}{p - 2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{p + 9}{p + 9}$ .

$\frac{4}{(p - 2) (p + 9)} = \frac{6}{p + 9} \cdot \frac{p - 2}{p - 2} - \frac{4}{p - 2} \cdot \frac{p + 9}{p + 9}$

Paso 2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(p + 9) (p - 2)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.3.1

Multiplica $\frac{6}{p + 9}$ por $\frac{p - 2}{p - 2}$ .

$\frac{4}{(p - 2) (p + 9)} = \frac{6 (p - 2)}{(p + 9) (p - 2)} - \frac{4}{p - 2} \cdot \frac{p + 9}{p + 9}$

Paso 2.3.2

Multiplica $\frac{4}{p - 2}$ por $\frac{p + 9}{p + 9}$ .

$\frac{4}{(p - 2) (p + 9)} = \frac{6 (p - 2)}{(p + 9) (p - 2)} - \frac{4 (p + 9)}{(p - 2) (p + 9)}$

Paso 2.3.3

Reordena los factores de $(p - 2) (p + 9)$ .

$\frac{4}{(p - 2) (p + 9)} = \frac{6 (p - 2)}{(p + 9) (p - 2)} - \frac{4 (p + 9)}{(p + 9) (p - 2)}$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4}{(p - 2) (p + 9)} = \frac{6 (p - 2) - 4 (p + 9)}{(p + 9) (p - 2)}$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1

Factoriza $2$ de $6 (p - 2) - 4 (p + 9)$ .

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Paso 2.5.1.1

Factoriza $2$ de $6 (p - 2)$ .

$\frac{4}{(p - 2) (p + 9)} = \frac{2 (3 (p - 2)) - 4 (p + 9)}{(p + 9) (p - 2)}$

Paso 2.5.1.2

Factoriza $2$ de $- 4 (p + 9)$ .

$\frac{4}{(p - 2) (p + 9)} = \frac{2 (3 (p - 2)) + 2 (- 2 (p + 9))}{(p + 9) (p - 2)}$

Paso 2.5.1.3

Factoriza $2$ de $2 (3 (p - 2)) + 2 (- 2 (p + 9))$ .

$\frac{4}{(p - 2) (p + 9)} = \frac{2 (3 (p - 2) - 2 (p + 9))}{(p + 9) (p - 2)}$

Paso 2.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4}{(p - 2) (p + 9)} = \frac{2 (3 p + 3 \cdot - 2 - 2 (p + 9))}{(p + 9) (p - 2)}$

Paso 2.5.3

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$\frac{4}{(p - 2) (p + 9)} = \frac{2 (3 p - 6 - 2 (p + 9))}{(p + 9) (p - 2)}$

Paso 2.5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4}{(p - 2) (p + 9)} = \frac{2 (3 p - 6 - 2 p - 2 \cdot 9)}{(p + 9) (p - 2)}$

Paso 2.5.5

Multiplica $- 2$ por $9$ .

$\frac{4}{(p - 2) (p + 9)} = \frac{2 (3 p - 6 - 2 p - 18)}{(p + 9) (p - 2)}$

Paso 2.5.6

Resta $2 p$ de $3 p$ .

$\frac{4}{(p - 2) (p + 9)} = \frac{2 (p - 6 - 18)}{(p + 9) (p - 2)}$

Paso 2.5.7

Resta $18$ de $- 6$ .

$\frac{4}{(p - 2) (p + 9)} = \frac{2 (p - 24)}{(p + 9) (p - 2)}$

Paso 3

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$p \approx 26$

Paso 4