Preálgebra Ejemplos

$\frac{30 - 17 r}{r^{2} - 36} - \frac{r}{6 - r} = \frac{11}{r + 6}$

Paso 1

Simplifica $\frac{30 - 17 r}{r^{2} - 36} - \frac{r}{6 - r}$ .

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Paso 1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1.1

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{30 - 17 r}{r^{2} - 6^{2}} - \frac{r}{6 - r} = \frac{11}{r + 6}$

Paso 1.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = r$ y $b = 6$ .

$\frac{30 - 17 r}{(r + 6) (r - 6)} - \frac{r}{6 - r} = \frac{11}{r + 6}$

Paso 1.2

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.2.1

Reescribe $6$ como $- 1 (- 6)$ .

$\frac{30 - 17 r}{(r + 6) (r - 6)} - \frac{r}{- 1 (- 6) - r} = \frac{11}{r + 6}$

Paso 1.2.2

Factoriza $- 1$ de $- r$ .

$\frac{30 - 17 r}{(r + 6) (r - 6)} - \frac{r}{- 1 (- 6) - (r)} = \frac{11}{r + 6}$

Paso 1.2.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- 6) - (r)$ .

$\frac{30 - 17 r}{(r + 6) (r - 6)} - \frac{r}{- 1 (- 6 + r)} = \frac{11}{r + 6}$

Paso 1.2.4

Reordena los términos.

$\frac{30 - 17 r}{(r + 6) (r - 6)} - \frac{r}{- 1 (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Paso 1.3

Para escribir $\frac{30 - 17 r}{(r + 6) (r - 6)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{30 - 17 r}{(r + 6) (r - 6)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{r}{- 1 (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Paso 1.4

Para escribir $- \frac{r}{- 1 (r - 6)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{r + 6}{r + 6}$ .

$\frac{30 - 17 r}{(r + 6) (r - 6)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{r}{- 1 (r - 6)} \cdot \frac{r + 6}{r + 6} = \frac{11}{r + 6}$

Paso 1.5

Escribe cada expresión con un denominador común de $(r + 6) (r - 6) \cdot - 1$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.5.1

Multiplica $\frac{30 - 17 r}{(r + 6) (r - 6)}$ por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{(30 - 17 r) \cdot - 1}{(r + 6) (r - 6) \cdot - 1} - \frac{r}{- 1 (r - 6)} \cdot \frac{r + 6}{r + 6} = \frac{11}{r + 6}$

Paso 1.5.2

Multiplica $\frac{r}{- 1 (r - 6)}$ por $\frac{r + 6}{r + 6}$ .

$\frac{(30 - 17 r) \cdot - 1}{(r + 6) (r - 6) \cdot - 1} - \frac{r (r + 6)}{- 1 (r - 6) (r + 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Paso 1.5.3

Reordena los factores de $(r + 6) (r - 6) \cdot - 1$ .

$\frac{(30 - 17 r) \cdot - 1}{- (r + 6) (r - 6)} - \frac{r (r + 6)}{- 1 (r - 6) (r + 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Paso 1.5.4

Reordena los factores de $- 1 (r - 6) (r + 6)$ .

$\frac{(30 - 17 r) \cdot - 1}{- (r + 6) (r - 6)} - \frac{r (r + 6)}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Paso 1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(30 - 17 r) \cdot - 1 - r (r + 6)}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Paso 1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 1.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{30 \cdot - 1 - 17 r \cdot - 1 - r (r + 6)}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Paso 1.7.2

Multiplica $30$ por $- 1$ .

$\frac{- 30 - 17 r \cdot - 1 - r (r + 6)}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Paso 1.7.3

Multiplica $- 1$ por $- 17$ .

$\frac{- 30 + 17 r - r (r + 6)}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Paso 1.7.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 30 + 17 r - r \cdot r - r \cdot 6}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Paso 1.7.5

Multiplica $r$ por $r$ sumando los exponentes.

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Paso 1.7.5.1

Mueve $r$ .

$\frac{- 30 + 17 r - (r \cdot r) - r \cdot 6}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Paso 1.7.5.2

Multiplica $r$ por $r$ .

$\frac{- 30 + 17 r - r^{2} - r \cdot 6}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Paso 1.7.6

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$\frac{- 30 + 17 r - r^{2} - 6 r}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Paso 1.7.7

Resta $6 r$ de $17 r$ .

$\frac{- 30 - r^{2} + 11 r}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Paso 1.7.8

Reordena los términos.

$\frac{- r^{2} + 11 r - 30}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Paso 1.7.9

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.7.9.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 30 = 30$ y cuya suma es $b = 11$ .

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Paso 1.7.9.1.1

Factoriza $11$ de $11 r$ .

$\frac{- r^{2} + 11 (r) - 30}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Paso 1.7.9.1.2

Reescribe $11$ como $5$ más $6$

$\frac{- r^{2} + (5 + 6) r - 30}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Paso 1.7.9.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- r^{2} + 5 r + 6 r - 30}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Paso 1.7.9.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.7.9.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(- r^{2} + 5 r) + 6 r - 30}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Paso 1.7.9.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{r (- r + 5) - 6 (- r + 5)}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Paso 1.7.9.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- r + 5$ .

$\frac{(- r + 5) (r - 6)}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Paso 1.8

Simplifica los términos.

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Paso 1.8.1

Cancela el factor común de $r - 6$ .

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Paso 1.8.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(- r + 5) (r - 6)}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Paso 1.8.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- r + 5}{- (r + 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Paso 1.8.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{- r + 5}{r + 6} = \frac{11}{r + 6}$

Paso 1.8.3

Factoriza $- 1$ de $- r$ .

$- \frac{- (r) + 5}{r + 6} = \frac{11}{r + 6}$

Paso 1.8.4

Reescribe $5$ como $- 1 (- 5)$ .

$- \frac{- (r) - 1 (- 5)}{r + 6} = \frac{11}{r + 6}$

Paso 1.8.5

Factoriza $- 1$ de $- (r) - 1 (- 5)$ .

$- \frac{- (r - 5)}{r + 6} = \frac{11}{r + 6}$

Paso 1.8.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.8.6.1

Reescribe $- (r - 5)$ como $- 1 (r - 5)$ .

$- \frac{- 1 (r - 5)}{r + 6} = \frac{11}{r + 6}$

Paso 1.8.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{r - 5}{r + 6} = \frac{11}{r + 6}$

Paso 1.8.6.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{r - 5}{r + 6} = \frac{11}{r + 6}$

Paso 1.8.6.4

Multiplica $\frac{r - 5}{r + 6}$ por $1$ .

$\frac{r - 5}{r + 6} = \frac{11}{r + 6}$

Paso 2

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$r \approx 16$

Paso 3