Preálgebra Ejemplos

$\frac{2 x + 4}{x - 2} - \frac{3 x - 6}{2 x + 3} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Paso 1

Simplifica $\frac{2 x + 4}{x - 2} - \frac{3 x - 6}{2 x + 3}$ .

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

Factoriza $2$ de $2 x + 4$ .

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Paso 1.1.1.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 4}{x - 2} - \frac{3 x - 6}{2 x + 3} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Paso 1.1.1.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 x + 2 \cdot 2}{x - 2} - \frac{3 x - 6}{2 x + 3} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Paso 1.1.1.3

Factoriza $2$ de $2 x + 2 \cdot 2$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} - \frac{3 x - 6}{2 x + 3} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Paso 1.1.2

Factoriza $3$ de $3 x - 6$ .

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Paso 1.1.2.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} - \frac{3 (x) - 6}{2 x + 3} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Paso 1.1.2.2

Factoriza $3$ de $- 6$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} - \frac{3 x + 3 \cdot - 2}{2 x + 3} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Paso 1.1.2.3

Factoriza $3$ de $3 x + 3 \cdot - 2$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} - \frac{3 (x - 2)}{2 x + 3} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Paso 1.2

Para escribir $\frac{2 (x + 2)}{x - 2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 x + 3}{2 x + 3}$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{2 x + 3}{2 x + 3} - \frac{3 (x - 2)}{2 x + 3} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Paso 1.3

Para escribir $- \frac{3 (x - 2)}{2 x + 3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x - 2} \cdot \frac{2 x + 3}{2 x + 3} - \frac{3 (x - 2)}{2 x + 3} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Paso 1.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x - 2) (2 x + 3)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.4.1

Multiplica $\frac{2 (x + 2)}{x - 2}$ por $\frac{2 x + 3}{2 x + 3}$ .

$\frac{2 (x + 2) (2 x + 3)}{(x - 2) (2 x + 3)} - \frac{3 (x - 2)}{2 x + 3} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Paso 1.4.2

Multiplica $\frac{3 (x - 2)}{2 x + 3}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{2 (x + 2) (2 x + 3)}{(x - 2) (2 x + 3)} - \frac{3 (x - 2) (x - 2)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Paso 1.4.3

Reordena los factores de $(x - 2) (2 x + 3)$ .

$\frac{2 (x + 2) (2 x + 3)}{(2 x + 3) (x - 2)} - \frac{3 (x - 2) (x - 2)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Paso 1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 (x + 2) (2 x + 3) - 3 (x - 2) (x - 2)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Paso 1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 2) (2 x + 3) - 3 (x - 2) (x - 2)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Paso 1.6.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{(2 x + 4) (2 x + 3) - 3 (x - 2) (x - 2)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Paso 1.6.3

Expande $(2 x + 4) (2 x + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.6.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x (2 x + 3) + 4 (2 x + 3) - 3 (x - 2) (x - 2)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Paso 1.6.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 4 (2 x + 3) - 3 (x - 2) (x - 2)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Paso 1.6.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 4 (2 x) + 4 \cdot 3 - 3 (x - 2) (x - 2)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Paso 1.6.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.6.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.6.4.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 3 + 4 (2 x) + 4 \cdot 3 - 3 (x - 2) (x - 2)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Paso 1.6.4.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.6.4.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 3 + 4 (2 x) + 4 \cdot 3 - 3 (x - 2) (x - 2)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Paso 1.6.4.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 4 (2 x) + 4 \cdot 3 - 3 (x - 2) (x - 2)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Paso 1.6.4.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 4 (2 x) + 4 \cdot 3 - 3 (x - 2) (x - 2)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Paso 1.6.4.1.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 4 (2 x) + 4 \cdot 3 - 3 (x - 2) (x - 2)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Paso 1.6.4.1.5

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 8 x + 4 \cdot 3 - 3 (x - 2) (x - 2)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Paso 1.6.4.1.6

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 8 x + 12 - 3 (x - 2) (x - 2)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Paso 1.6.4.2

Suma $6 x$ y $8 x$ .

$\frac{4 x^{2} + 14 x + 12 - 3 (x - 2) (x - 2)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Paso 1.6.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{2} + 14 x + 12 + (- 3 x - 3 \cdot - 2) (x - 2)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Paso 1.6.6

Multiplica $- 3$ por $- 2$ .

$\frac{4 x^{2} + 14 x + 12 + (- 3 x + 6) (x - 2)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Paso 1.6.7

Expande $(- 3 x + 6) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.6.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{2} + 14 x + 12 - 3 x (x - 2) + 6 (x - 2)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Paso 1.6.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{2} + 14 x + 12 - 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 2 + 6 (x - 2)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Paso 1.6.7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{2} + 14 x + 12 - 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 2 + 6 x + 6 \cdot - 2}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Paso 1.6.8

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.6.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.6.8.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.6.8.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 14 x + 12 - 3 (x \cdot x) - 3 x \cdot - 2 + 6 x + 6 \cdot - 2}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Paso 1.6.8.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 14 x + 12 - 3 x^{2} - 3 x \cdot - 2 + 6 x + 6 \cdot - 2}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Paso 1.6.8.1.2

Multiplica $- 2$ por $- 3$ .

$\frac{4 x^{2} + 14 x + 12 - 3 x^{2} + 6 x + 6 x + 6 \cdot - 2}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Paso 1.6.8.1.3

Multiplica $6$ por $- 2$ .

$\frac{4 x^{2} + 14 x + 12 - 3 x^{2} + 6 x + 6 x - 12}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Paso 1.6.8.2

Suma $6 x$ y $6 x$ .

$\frac{4 x^{2} + 14 x + 12 - 3 x^{2} + 12 x - 12}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Paso 1.6.9

Resta $3 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 14 x + 12 + 12 x - 12}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Paso 1.6.10

Suma $14 x$ y $12 x$ .

$\frac{x^{2} + 26 x + 12 - 12}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Paso 1.6.11

Resta $12$ de $12$ .

$\frac{x^{2} + 26 x + 0}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Paso 1.6.12

Suma $x^{2} + 26 x$ y $0$ .

$\frac{x^{2} + 26 x}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Paso 1.6.13

Factoriza $x$ de $x^{2} + 26 x$ .

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Paso 1.6.13.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x + 26 x}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Paso 1.6.13.2

Factoriza $x$ de $26 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot 26}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Paso 1.6.13.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot 26$ .

$\frac{x (x + 26)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - x - 6}$

Paso 2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 6 = - 12$ y cuya suma es $b = - 1$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{x (x + 26)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} - (x) - 6}$

Paso 2.1.2

Reescribe $- 1$ como $3$ más $- 4$

$\frac{x (x + 26)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} + (3 - 4) x - 6}$

Paso 2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x + 26)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{2 x^{2} + 3 x - 4 x - 6}$

Paso 2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{x (x + 26)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{(2 x^{2} + 3 x) - 4 x - 6}$

Paso 2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (x + 26)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{x (2 x + 3) - 2 (2 x + 3)}$

Paso 2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x + 3$ .

$\frac{x (x + 26)}{(2 x + 3) (x - 2)} = \frac{x^{2} + 78}{(2 x + 3) (x - 2)}$

Paso 3

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$x = 3$

Paso 4