Preálgebra Ejemplos

$p (x) = 6 x^{4} + 19 x^{3} + 24 x^{2} + 24 x + 8$

Paso 1

Comprueba el coeficiente principal de la función. Este número es el coeficiente de la expresión con mayor grado.

Grado más grande: $4$

Coeficiente principal: $6$

Paso 2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 2.1.1

Cancela el factor común.

$p (x) = \frac{6 x^{4}}{6} + \frac{19 x^{3}}{6} + \frac{24 x^{2}}{6} + \frac{24 x}{6} + \frac{8}{6}$

Paso 2.1.2

Divide $x^{4}$ por $1$ .

$p (x) = x^{4} + \frac{19 x^{3}}{6} + \frac{24 x^{2}}{6} + \frac{24 x}{6} + \frac{8}{6}$

Paso 2.2

Cancela el factor común de $24$ y $6$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $6$ de $24 x^{2}$ .

$p (x) = x^{4} + \frac{19 x^{3}}{6} + \frac{6 (4 x^{2})}{6} + \frac{24 x}{6} + \frac{8}{6}$

Paso 2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $6$ de $6$ .

$p (x) = x^{4} + \frac{19 x^{3}}{6} + \frac{6 (4 x^{2})}{6 (1)} + \frac{24 x}{6} + \frac{8}{6}$

Paso 2.2.2.2

Cancela el factor común.

$p (x) = x^{4} + \frac{19 x^{3}}{6} + \frac{6 (4 x^{2})}{6 \cdot 1} + \frac{24 x}{6} + \frac{8}{6}$

Paso 2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$p (x) = x^{4} + \frac{19 x^{3}}{6} + \frac{4 x^{2}}{1} + \frac{24 x}{6} + \frac{8}{6}$

Paso 2.2.2.4

Divide $4 x^{2}$ por $1$ .

$p (x) = x^{4} + \frac{19 x^{3}}{6} + 4 x^{2} + \frac{24 x}{6} + \frac{8}{6}$

Paso 2.3

Cancela el factor común de $24$ y $6$ .

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Paso 2.3.1

Factoriza $6$ de $24 x$ .

$p (x) = x^{4} + \frac{19 x^{3}}{6} + 4 x^{2} + \frac{6 (4 x)}{6} + \frac{8}{6}$

Paso 2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.1

Factoriza $6$ de $6$ .

$p (x) = x^{4} + \frac{19 x^{3}}{6} + 4 x^{2} + \frac{6 (4 x)}{6 (1)} + \frac{8}{6}$

Paso 2.3.2.2

Cancela el factor común.

$p (x) = x^{4} + \frac{19 x^{3}}{6} + 4 x^{2} + \frac{6 (4 x)}{6 \cdot 1} + \frac{8}{6}$

Paso 2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$p (x) = x^{4} + \frac{19 x^{3}}{6} + 4 x^{2} + \frac{4 x}{1} + \frac{8}{6}$

Paso 2.3.2.4

Divide $4 x$ por $1$ .

$p (x) = x^{4} + \frac{19 x^{3}}{6} + 4 x^{2} + 4 x + \frac{8}{6}$

Paso 2.4

Cancela el factor común de $8$ y $6$ .

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Paso 2.4.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$p (x) = x^{4} + \frac{19 x^{3}}{6} + 4 x^{2} + 4 x + \frac{2 (4)}{6}$

Paso 2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.4.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$p (x) = x^{4} + \frac{19 x^{3}}{6} + 4 x^{2} + 4 x + \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3}$

Paso 2.4.2.2

Cancela el factor común.

$p (x) = x^{4} + \frac{19 x^{3}}{6} + 4 x^{2} + 4 x + \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3}$

Paso 2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$p (x) = x^{4} + \frac{19 x^{3}}{6} + 4 x^{2} + 4 x + \frac{4}{3}$

Paso 3

Crea una lista de los coeficientes de la función excepto el coeficiente principal de $1$ .

$\frac{19}{6}, 4, 4, \frac{4}{3}$

Paso 4

Hay dos opciones de cota, $b_{1}$ y $b_{2}$ , la menor de las cuales es la respuesta. Para calcular la primera opción de cota, obtén el valor absoluto del coeficiente más grande de la lista de coeficientes. Luego, suma $1$ .

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Paso 4.1

Organiza los términos en orden ascendente.

$b_{1} = | \frac{4}{3} |, | \frac{19}{6} |, | 4 |, | 4 |$

Paso 4.2

El valor máximo es el mayor valor en el conjunto de datos ordenado.

$b_{1} = | 4 |$

Paso 4.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $4$ es $4$ .

$b_{1} = 4 + 1$

Paso 4.4

Suma $4$ y $1$ .

$b_{1} = 5$

Paso 5

Para calcular la segunda opción de cota, suma los valores absolutos de los coeficientes de la lista de coeficientes. Si la suma es mayor que $1$ , usa ese número. De lo contrario, usa $1$ .

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Paso 5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1

$\frac{19}{6}$ es aproximadamente $3.1\overline{6}$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$b_{2} = \frac{19}{6} + | 4 | + | 4 | + | \frac{4}{3} |$

Paso 5.1.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $4$ es $4$ .

$b_{2} = \frac{19}{6} + 4 + | 4 | + | \frac{4}{3} |$

Paso 5.1.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $4$ es $4$ .

$b_{2} = \frac{19}{6} + 4 + 4 + | \frac{4}{3} |$

Paso 5.1.4

$\frac{4}{3}$ es aproximadamente $1.\overline{3}$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$b_{2} = \frac{19}{6} + 4 + 4 + \frac{4}{3}$

Paso 5.2

Obtén el denominador común

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Paso 5.2.1

Escribe $4$ como una fracción con el denominador $1$ .

$b_{2} = \frac{19}{6} + \frac{4}{1} + 4 + \frac{4}{3}$

Paso 5.2.2

Multiplica $\frac{4}{1}$ por $\frac{6}{6}$ .

$b_{2} = \frac{19}{6} + \frac{4}{1} \cdot \frac{6}{6} + 4 + \frac{4}{3}$

Paso 5.2.3

Multiplica $\frac{4}{1}$ por $\frac{6}{6}$ .

$b_{2} = \frac{19}{6} + \frac{4 \cdot 6}{6} + 4 + \frac{4}{3}$

Paso 5.2.4

Escribe $4$ como una fracción con el denominador $1$ .

$b_{2} = \frac{19}{6} + \frac{4 \cdot 6}{6} + \frac{4}{1} + \frac{4}{3}$

Paso 5.2.5

Multiplica $\frac{4}{1}$ por $\frac{6}{6}$ .

$b_{2} = \frac{19}{6} + \frac{4 \cdot 6}{6} + \frac{4}{1} \cdot \frac{6}{6} + \frac{4}{3}$

Paso 5.2.6

Multiplica $\frac{4}{1}$ por $\frac{6}{6}$ .

$b_{2} = \frac{19}{6} + \frac{4 \cdot 6}{6} + \frac{4 \cdot 6}{6} + \frac{4}{3}$

Paso 5.2.7

Multiplica $\frac{4}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$b_{2} = \frac{19}{6} + \frac{4 \cdot 6}{6} + \frac{4 \cdot 6}{6} + \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 5.2.8

Multiplica $\frac{4}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$b_{2} = \frac{19}{6} + \frac{4 \cdot 6}{6} + \frac{4 \cdot 6}{6} + \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Paso 5.2.9

Reordena los factores de $3 \cdot 2$ .

$b_{2} = \frac{19}{6} + \frac{4 \cdot 6}{6} + \frac{4 \cdot 6}{6} + \frac{4 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

Paso 5.2.10

Multiplica $2$ por $3$ .

$b_{2} = \frac{19}{6} + \frac{4 \cdot 6}{6} + \frac{4 \cdot 6}{6} + \frac{4 \cdot 2}{6}$

Paso 5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$b_{2} = \frac{19 + 4 \cdot 6 + 4 \cdot 6 + 4 \cdot 2}{6}$

Paso 5.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.1

Multiplica $4$ por $6$ .

$b_{2} = \frac{19 + 24 + 4 \cdot 6 + 4 \cdot 2}{6}$

Paso 5.4.2

Multiplica $4$ por $6$ .

$b_{2} = \frac{19 + 24 + 24 + 4 \cdot 2}{6}$

Paso 5.4.3

Multiplica $4$ por $2$ .

$b_{2} = \frac{19 + 24 + 24 + 8}{6}$

Paso 5.5

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.5.1

Suma $19$ y $24$ .

$b_{2} = \frac{43 + 24 + 8}{6}$

Paso 5.5.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 5.5.2.1

Suma $43$ y $24$ .

$b_{2} = \frac{67 + 8}{6}$

Paso 5.5.2.2

Suma $67$ y $8$ .

$b_{2} = \frac{75}{6}$

Paso 5.5.3

Cancela el factor común de $75$ y $6$ .

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Paso 5.5.3.1

Factoriza $3$ de $75$ .

$b_{2} = \frac{3 (25)}{6}$

Paso 5.5.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.5.3.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$b_{2} = \frac{3 \cdot 25}{3 \cdot 2}$

Paso 5.5.3.2.2

Cancela el factor común.

$b_{2} = \frac{3 \cdot 25}{3 \cdot 2}$

Paso 5.5.3.2.3

Reescribe la expresión.

$b_{2} = \frac{25}{2}$

Paso 5.6

Organiza los términos en orden ascendente.

$b_{2} = 1, \frac{25}{2}$

Paso 5.7

El valor máximo es el mayor valor en el conjunto de datos ordenado.

$b_{2} = \frac{25}{2}$

Paso 6

Resta la opción de cota inferior entre $b_{1} = 5$ y $b_{2} = \frac{25}{2}$ .

Cota inferior: $5$

Paso 7

Cada raíz real en $p (x) = 6 x^{4} + 19 x^{3} + 24 x^{2} + 24 x + 8$ se encuentra entre $- 5$ y $5$ .

$- 5$ y $5$