Preálgebra Ejemplos

$2 (x^{2} + 6 x) + 4 (y^{2} - 4 y) = 20$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} + 2 (6 x) + 4 (y^{2} - 4 y) = 20$

Paso 1.2

Multiplica $6$ por $2$ .

$2 x^{2} + 12 x + 4 (y^{2} - 4 y) = 20$

Paso 1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} + 12 x + 4 y^{2} + 4 (- 4 y) = 20$

Paso 1.4

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$2 x^{2} + 12 x + 4 y^{2} - 16 y = 20$

Paso 2

Resta $20$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} + 12 x + 4 y^{2} - 16 y - 20 = 0$

Paso 3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4

Sustituye los valores $a = 4$ , $b = - 16$ y $c = 2 x^{2} + 12 x - 20$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot (2 x^{2} + 12 x - 20))}}{2 \cdot 4}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Eleva $- 16$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 4 \cdot (2 x^{2} + 12 x - 20)}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 16 \cdot (2 x^{2} + 12 x - 20)}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 16 (2 x^{2}) - 16 (12 x) - 16 \cdot - 20}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.4

Simplifica.

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Paso 5.1.4.1

Multiplica $2$ por $- 16$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 32 x^{2} - 16 (12 x) - 16 \cdot - 20}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.4.2

Multiplica $12$ por $- 16$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 32 x^{2} - 192 x - 16 \cdot - 20}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.4.3

Multiplica $- 16$ por $- 20$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 32 x^{2} - 192 x + 320}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.5

Suma $256$ y $320$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 32 x^{2} - 192 x + 576}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.6

Factoriza $32$ de $- 32 x^{2} - 192 x + 576$ .

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Paso 5.1.6.1

Factoriza $32$ de $- 32 x^{2}$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2}) - 192 x + 576}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.6.2

Factoriza $32$ de $- 192 x$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2}) + 32 (- 6 x) + 576}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.6.3

Factoriza $32$ de $576$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2}) + 32 (- 6 x) + 32 (18)}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.6.4

Factoriza $32$ de $32 (- x^{2}) + 32 (- 6 x)$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2} - 6 x) + 32 (18)}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.6.5

Factoriza $32$ de $32 (- x^{2} - 6 x) + 32 (18)$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.7

Reescribe $32 (- x^{2} - 6 x + 18)$ como ${(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- x^{2} - 6 x + 18))$ .

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Paso 5.1.7.1

Factoriza $16$ de $32$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{16 (2) (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.7.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (2 (- x^{2} - 6 x + 18))}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.7.3

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- x^{2} - 6 x + 18))}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.7.4

Agrega paréntesis.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- x^{2} - 6 x + 18))}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{16 \pm 2^{2} \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.9

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$y = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{8}$

Paso 5.3

Simplifica $\frac{16 \pm 4 \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{8}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2}$

Paso 6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Eleva $- 16$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 4 \cdot (2 x^{2} + 12 x - 20)}}{2 \cdot 4}$

Paso 6.1.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 16 \cdot (2 x^{2} + 12 x - 20)}}{2 \cdot 4}$

Paso 6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 16 (2 x^{2}) - 16 (12 x) - 16 \cdot - 20}}{2 \cdot 4}$

Paso 6.1.4

Simplifica.

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Paso 6.1.4.1

Multiplica $2$ por $- 16$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 32 x^{2} - 16 (12 x) - 16 \cdot - 20}}{2 \cdot 4}$

Paso 6.1.4.2

Multiplica $12$ por $- 16$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 32 x^{2} - 192 x - 16 \cdot - 20}}{2 \cdot 4}$

Paso 6.1.4.3

Multiplica $- 16$ por $- 20$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 32 x^{2} - 192 x + 320}}{2 \cdot 4}$

Paso 6.1.5

Suma $256$ y $320$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 32 x^{2} - 192 x + 576}}{2 \cdot 4}$

Paso 6.1.6

Factoriza $32$ de $- 32 x^{2} - 192 x + 576$ .

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Paso 6.1.6.1

Factoriza $32$ de $- 32 x^{2}$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2}) - 192 x + 576}}{2 \cdot 4}$

Paso 6.1.6.2

Factoriza $32$ de $- 192 x$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2}) + 32 (- 6 x) + 576}}{2 \cdot 4}$

Paso 6.1.6.3

Factoriza $32$ de $576$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2}) + 32 (- 6 x) + 32 (18)}}{2 \cdot 4}$

Paso 6.1.6.4

Factoriza $32$ de $32 (- x^{2}) + 32 (- 6 x)$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2} - 6 x) + 32 (18)}}{2 \cdot 4}$

Paso 6.1.6.5

Factoriza $32$ de $32 (- x^{2} - 6 x) + 32 (18)$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2 \cdot 4}$

Paso 6.1.7

Reescribe $32 (- x^{2} - 6 x + 18)$ como ${(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- x^{2} - 6 x + 18))$ .

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Paso 6.1.7.1

Factoriza $16$ de $32$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{16 (2) (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2 \cdot 4}$

Paso 6.1.7.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (2 (- x^{2} - 6 x + 18))}}{2 \cdot 4}$

Paso 6.1.7.3

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- x^{2} - 6 x + 18))}}{2 \cdot 4}$

Paso 6.1.7.4

Agrega paréntesis.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- x^{2} - 6 x + 18))}}{2 \cdot 4}$

Paso 6.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{16 \pm 2^{2} \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2 \cdot 4}$

Paso 6.1.9

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2 \cdot 4}$

Paso 6.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$y = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{8}$

Paso 6.3

Simplifica $\frac{16 \pm 4 \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{8}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2}$

Paso 6.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{4 + \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2}$

Paso 7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Eleva $- 16$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 4 \cdot (2 x^{2} + 12 x - 20)}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.1.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 16 \cdot (2 x^{2} + 12 x - 20)}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 16 (2 x^{2}) - 16 (12 x) - 16 \cdot - 20}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.1.4

Simplifica.

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Paso 7.1.4.1

Multiplica $2$ por $- 16$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 32 x^{2} - 16 (12 x) - 16 \cdot - 20}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.1.4.2

Multiplica $12$ por $- 16$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 32 x^{2} - 192 x - 16 \cdot - 20}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.1.4.3

Multiplica $- 16$ por $- 20$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 32 x^{2} - 192 x + 320}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.1.5

Suma $256$ y $320$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 32 x^{2} - 192 x + 576}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.1.6

Factoriza $32$ de $- 32 x^{2} - 192 x + 576$ .

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Paso 7.1.6.1

Factoriza $32$ de $- 32 x^{2}$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2}) - 192 x + 576}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.1.6.2

Factoriza $32$ de $- 192 x$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2}) + 32 (- 6 x) + 576}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.1.6.3

Factoriza $32$ de $576$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2}) + 32 (- 6 x) + 32 (18)}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.1.6.4

Factoriza $32$ de $32 (- x^{2}) + 32 (- 6 x)$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2} - 6 x) + 32 (18)}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.1.6.5

Factoriza $32$ de $32 (- x^{2} - 6 x) + 32 (18)$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.1.7

Reescribe $32 (- x^{2} - 6 x + 18)$ como ${(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- x^{2} - 6 x + 18))$ .

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Paso 7.1.7.1

Factoriza $16$ de $32$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{16 (2) (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.1.7.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (2 (- x^{2} - 6 x + 18))}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.1.7.3

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- x^{2} - 6 x + 18))}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.1.7.4

Agrega paréntesis.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- x^{2} - 6 x + 18))}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{16 \pm 2^{2} \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.1.9

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2 \cdot 4}$

Paso 7.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$y = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{8}$

Paso 7.3

Simplifica $\frac{16 \pm 4 \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{8}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2}$

Paso 7.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{4 - \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2}$

Paso 8

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = \frac{4 + \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2}$

$y = \frac{4 - \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2}$

Paso 9

La ecuación dada $y = \frac{4 + \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2}, \frac{4 - \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2}$ no puede escribirse como $y = k x^{2}$ , así es que $y$ no varía directamente con $x^{2}$ .

$y$ no varía directamente con $x$