Preálgebra Ejemplos

$\frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308}{x - 11}$

Paso 1

Escribe $\frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308}{x - 11}$ como una ecuación.

$y = \frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308}{x - 11}$

Paso 2

Simplifica $\frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308}{x - 11}$ .

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Paso 2.1

Divide la fracción $\frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308}{x - 11}$ en dos fracciones.

$y = \frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x}{x - 11} + \frac{- 308}{x - 11}$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Factoriza $x$ de $- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $x$ de $- x^{3}$ .

$y = \frac{x (- x^{2}) + 23 x^{2} - 104 x}{x - 11} + \frac{- 308}{x - 11}$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $x$ de $23 x^{2}$ .

$y = \frac{x (- x^{2}) + x (23 x) - 104 x}{x - 11} + \frac{- 308}{x - 11}$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $x$ de $- 104 x$ .

$y = \frac{x (- x^{2}) + x (23 x) + x \cdot - 104}{x - 11} + \frac{- 308}{x - 11}$

Paso 2.2.1.4

Factoriza $x$ de $x (- x^{2}) + x (23 x)$ .

$y = \frac{x (- x^{2} + 23 x) + x \cdot - 104}{x - 11} + \frac{- 308}{x - 11}$

Paso 2.2.1.5

Factoriza $x$ de $x (- x^{2} + 23 x) + x \cdot - 104$ .

$y = \frac{x (- x^{2} + 23 x - 104)}{x - 11} + \frac{- 308}{x - 11}$

Paso 2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{x (- x^{2} + 23 x - 104)}{x - 11} - \frac{308}{x - 11}$

Paso 3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x (- x^{2} + 23 x - 104) - 308}{x - 11}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{x (- x^{2}) + x (23 x) + x \cdot - 104 - 308}{x - 11}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{- x \cdot x^{2} + x (23 x) + x \cdot - 104 - 308}{x - 11}$

Paso 4.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{- x \cdot x^{2} + 23 x \cdot x + x \cdot - 104 - 308}{x - 11}$

Paso 4.2.3

Mueve $- 104$ a la izquierda de $x$ .

$y = \frac{- x \cdot x^{2} + 23 x \cdot x - 104 \cdot x - 308}{x - 11}$

Paso 4.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$y = \frac{- (x^{2} x) + 23 x \cdot x - 104 \cdot x - 308}{x - 11}$

Paso 4.3.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 4.3.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{- (x^{2} x^{1}) + 23 x \cdot x - 104 \cdot x - 308}{x - 11}$

Paso 4.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{- x^{2 + 1} + 23 x \cdot x - 104 \cdot x - 308}{x - 11}$

Paso 4.3.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$y = \frac{- x^{3} + 23 x \cdot x - 104 \cdot x - 308}{x - 11}$

Paso 4.3.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.2.1

Mueve $x$ .

$y = \frac{- x^{3} + 23 (x \cdot x) - 104 \cdot x - 308}{x - 11}$

Paso 4.3.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = \frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 \cdot x - 308}{x - 11}$

$y = \frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308}{x - 11}$

Paso 4.4

Reescribe $- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308$ en forma factorizada.

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Paso 4.4.1

Factoriza $- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 4.4.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 308, \pm 2, \pm 154, \pm 4, \pm 77, \pm 7, \pm 44, \pm 11, \pm 28, \pm 14, \pm 22$

$q = \pm 1$

Paso 4.4.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 308, \pm 2, \pm 154, \pm 4, \pm 77, \pm 7, \pm 44, \pm 11, \pm 28, \pm 14, \pm 22$

Paso 4.4.1.3

Sustituye $- 2$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 2$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.4.1.3.1

Sustituye $- 2$ en el polinomio.

$- {(- 2)}^{3} + 23 {(- 2)}^{2} - 104 \cdot - 2 - 308$

Paso 4.4.1.3.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$- - 8 + 23 {(- 2)}^{2} - 104 \cdot - 2 - 308$

Paso 4.4.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 8$ .

$8 + 23 {(- 2)}^{2} - 104 \cdot - 2 - 308$

Paso 4.4.1.3.4

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$8 + 23 \cdot 4 - 104 \cdot - 2 - 308$

Paso 4.4.1.3.5

Multiplica $23$ por $4$ .

$8 + 92 - 104 \cdot - 2 - 308$

Paso 4.4.1.3.6

Suma $8$ y $92$ .

$100 - 104 \cdot - 2 - 308$

Paso 4.4.1.3.7

Multiplica $- 104$ por $- 2$ .

$100 + 208 - 308$

Paso 4.4.1.3.8

Suma $100$ y $208$ .

$308 - 308$

Paso 4.4.1.3.9

Resta $308$ de $308$ .

$0$

Paso 4.4.1.4

Como $- 2$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 2$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308}{x + 2}$

Paso 4.4.1.5

Divide $- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308$ por $x + 2$ .

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Paso 4.4.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$23 x^{2}$

$104 x$

$308$

Paso 4.4.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$

Paso 4.4.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Paso 4.4.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- x^{3} - 2 x^{2}$ .

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Paso 4.4.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$

Paso 4.4.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$

Paso 4.4.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $25 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$25 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$

Paso 4.4.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$x^{2}$	+	$25 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$
					+	$25 x^{2}$	+	$50 x$

Paso 4.4.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $25 x^{2} + 50 x$ .

			-	$x^{2}$	+	$25 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$
					-	$25 x^{2}$	-	$50 x$

Paso 4.4.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$x^{2}$	+	$25 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$
					-	$25 x^{2}$	-	$50 x$
							-	$154 x$

Paso 4.4.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$x^{2}$	+	$25 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$
					-	$25 x^{2}$	-	$50 x$
							-	$154 x$	-	$308$

Paso 4.4.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 154 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$25 x$	-	$154$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$
					-	$25 x^{2}$	-	$50 x$
							-	$154 x$	-	$308$

Paso 4.4.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$x^{2}$	+	$25 x$	-	$154$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$
					-	$25 x^{2}$	-	$50 x$
							-	$154 x$	-	$308$
							-	$154 x$	-	$308$

Paso 4.4.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 154 x - 308$ .

			-	$x^{2}$	+	$25 x$	-	$154$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$
					-	$25 x^{2}$	-	$50 x$
							-	$154 x$	-	$308$
							+	$154 x$	+	$308$

Paso 4.4.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$x^{2}$	+	$25 x$	-	$154$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$
					-	$25 x^{2}$	-	$50 x$
							-	$154 x$	-	$308$
							+	$154 x$	+	$308$
										$0$

Paso 4.4.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$- x^{2} + 25 x - 154$

Paso 4.4.1.6

Escribe $- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308$ como un conjunto de factores.

$y = \frac{(x + 2) (- x^{2} + 25 x - 154)}{x - 11}$

Paso 4.4.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.4.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 154 = 154$ y cuya suma es $b = 25$ .

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Paso 4.4.2.1.1

Factoriza $25$ de $25 x$ .

$y = \frac{(x + 2) (- x^{2} + 25 (x) - 154)}{x - 11}$

Paso 4.4.2.1.2

Reescribe $25$ como $11$ más $14$

$y = \frac{(x + 2) (- x^{2} + (11 + 14) x - 154)}{x - 11}$

Paso 4.4.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{(x + 2) (- x^{2} + 11 x + 14 x - 154)}{x - 11}$

Paso 4.4.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.4.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$y = \frac{(x + 2) ((- x^{2} + 11 x) + 14 x - 154)}{x - 11}$

Paso 4.4.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$y = \frac{(x + 2) (x (- x + 11) - 14 (- x + 11))}{x - 11}$

Paso 4.4.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x + 11$ .

$y = \frac{(x + 2) ((- x + 11) (x - 14))}{x - 11}$

$y = \frac{(x + 2) (- x + 11) (x - 14)}{x - 11}$

Paso 5

Cancela el factor común de $- x + 11$ y $x - 11$ .

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Paso 5.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$y = \frac{(x + 2) (- (x) + 11) (x - 14)}{x - 11}$

Paso 5.2

Reescribe $11$ como $- 1 (- 11)$ .

$y = \frac{(x + 2) (- (x) - 1 (- 11)) (x - 14)}{x - 11}$

Paso 5.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 11)$ .

$y = \frac{(x + 2) (- (x - 11)) (x - 14)}{x - 11}$

Paso 5.4

Reescribe $- (x - 11)$ como $- 1 (x - 11)$ .

$y = \frac{(x + 2) (- 1 (x - 11)) (x - 14)}{x - 11}$

Paso 5.5

Cancela el factor común.

$y = \frac{(x + 2) (- 1 (x - 11)) (x - 14)}{x - 11}$

Paso 5.6

Divide $((x + 2) \cdot (- 1)) (x - 14)$ por $1$ .

$y = ((x + 2) \cdot (- 1)) (x - 14)$

Paso 6

Aplica la propiedad distributiva.

$y = (x \cdot - 1 + 2 \cdot - 1) (x - 14)$

Paso 7

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$y = (- 1 \cdot x + 2 \cdot - 1) (x - 14)$

Paso 8

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = (- 1 \cdot x - 2) (x - 14)$

Paso 9

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$y = (- x - 2) (x - 14)$

Paso 10

Expande $(- x - 2) (x - 14)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - x (x - 14) - 2 (x - 14)$

Paso 10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - x \cdot x - x \cdot - 14 - 2 (x - 14)$

Paso 10.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - x \cdot x - x \cdot - 14 - 2 x - 2 \cdot - 14$

Paso 11

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 11.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 11.1.1.1

Mueve $x$ .

$y = - (x \cdot x) - x \cdot - 14 - 2 x - 2 \cdot - 14$

Paso 11.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = - x^{2} - x \cdot - 14 - 2 x - 2 \cdot - 14$

Paso 11.1.2

Multiplica $- 14$ por $- 1$ .

$y = - x^{2} + 14 x - 2 x - 2 \cdot - 14$

Paso 11.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 14$ .

$y = - x^{2} + 14 x - 2 x + 28$

Paso 11.2

Resta $2 x$ de $14 x$ .

$y = - x^{2} + 12 x + 28$

Paso 12

Cuando se resuelve $y$ , $y$ no varía directamente con $x^{2}$ .

$y$ no varía directamente con $x^{2}$