Preálgebra Ejemplos

$36 x^{2} - 9 y^{2} - 72 x - 108 y + 36 = 0$

Paso 1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2

Sustituye los valores $a = - 9$ , $b = - 108$ y $c = 36 x^{2} - 72 x + 36$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{108 \pm \sqrt{{(- 108)}^{2} - 4 \cdot (- 9 \cdot (36 x^{2} - 72 x + 36))}}{2 \cdot - 9}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.1

Eleva $- 108$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 - 4 \cdot - 9 \cdot (36 x^{2} - 72 x + 36)}}{2 \cdot - 9}$

Paso 3.1.2

Multiplica $- 4$ por $- 9$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 36 \cdot (36 x^{2} - 72 x + 36)}}{2 \cdot - 9}$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 36 (36 x^{2}) + 36 (- 72 x) + 36 \cdot 36}}{2 \cdot - 9}$

Paso 3.1.4

Simplifica.

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Paso 3.1.4.1

Multiplica $36$ por $36$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 1296 x^{2} + 36 (- 72 x) + 36 \cdot 36}}{2 \cdot - 9}$

Paso 3.1.4.2

Multiplica $- 72$ por $36$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 1296 x^{2} - 2592 x + 36 \cdot 36}}{2 \cdot - 9}$

Paso 3.1.4.3

Multiplica $36$ por $36$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 1296 x^{2} - 2592 x + 1296}}{2 \cdot - 9}$

Paso 3.1.5

Suma $11664$ y $1296$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 x^{2} - 2592 x + 12960}}{2 \cdot - 9}$

Paso 3.1.6

Factoriza $1296$ de $1296 x^{2} - 2592 x + 12960$ .

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Paso 3.1.6.1

Factoriza $1296$ de $1296 x^{2}$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 (x^{2}) - 2592 x + 12960}}{2 \cdot - 9}$

Paso 3.1.6.2

Factoriza $1296$ de $- 2592 x$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 (x^{2}) + 1296 (- 2 x) + 12960}}{2 \cdot - 9}$

Paso 3.1.6.3

Factoriza $1296$ de $12960$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 x^{2} + 1296 (- 2 x) + 1296 \cdot 10}}{2 \cdot - 9}$

Paso 3.1.6.4

Factoriza $1296$ de $1296 x^{2} + 1296 (- 2 x)$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 (x^{2} - 2 x) + 1296 \cdot 10}}{2 \cdot - 9}$

Paso 3.1.6.5

Factoriza $1296$ de $1296 (x^{2} - 2 x) + 1296 \cdot 10$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 (x^{2} - 2 x + 10)}}{2 \cdot - 9}$

Paso 3.1.7

Reescribe $1296 (x^{2} - 2 x + 10)$ como ${(6^{2})}^{2} (x^{2} - 2 x + 10)$ .

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Paso 3.1.7.1

Reescribe $1296$ como $36^{2}$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{36^{2} (x^{2} - 2 x + 10)}}{2 \cdot - 9}$

Paso 3.1.7.2

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{{(6^{2})}^{2} (x^{2} - 2 x + 10)}}{2 \cdot - 9}$

Paso 3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{108 \pm 6^{2} \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{2 \cdot - 9}$

Paso 3.1.9

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{108 \pm 36 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{2 \cdot - 9}$

Paso 3.2

Multiplica $2$ por $- 9$ .

$y = \frac{108 \pm 36 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{- 18}$

Paso 3.3

Simplifica $\frac{108 \pm 36 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{- 18}$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{- 1}$

Paso 3.4

Mueve el negativo del denominador de $\frac{6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$

Paso 3.5

Reescribe $- 1 \cdot (6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$ como $- (6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$ .

$y = - (6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$

Paso 4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Eleva $- 108$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 - 4 \cdot - 9 \cdot (36 x^{2} - 72 x + 36)}}{2 \cdot - 9}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 4$ por $- 9$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 36 \cdot (36 x^{2} - 72 x + 36)}}{2 \cdot - 9}$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 36 (36 x^{2}) + 36 (- 72 x) + 36 \cdot 36}}{2 \cdot - 9}$

Paso 4.1.4

Simplifica.

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Paso 4.1.4.1

Multiplica $36$ por $36$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 1296 x^{2} + 36 (- 72 x) + 36 \cdot 36}}{2 \cdot - 9}$

Paso 4.1.4.2

Multiplica $- 72$ por $36$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 1296 x^{2} - 2592 x + 36 \cdot 36}}{2 \cdot - 9}$

Paso 4.1.4.3

Multiplica $36$ por $36$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 1296 x^{2} - 2592 x + 1296}}{2 \cdot - 9}$

Paso 4.1.5

Suma $11664$ y $1296$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 x^{2} - 2592 x + 12960}}{2 \cdot - 9}$

Paso 4.1.6

Factoriza $1296$ de $1296 x^{2} - 2592 x + 12960$ .

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Paso 4.1.6.1

Factoriza $1296$ de $1296 x^{2}$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 (x^{2}) - 2592 x + 12960}}{2 \cdot - 9}$

Paso 4.1.6.2

Factoriza $1296$ de $- 2592 x$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 (x^{2}) + 1296 (- 2 x) + 12960}}{2 \cdot - 9}$

Paso 4.1.6.3

Factoriza $1296$ de $12960$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 x^{2} + 1296 (- 2 x) + 1296 \cdot 10}}{2 \cdot - 9}$

Paso 4.1.6.4

Factoriza $1296$ de $1296 x^{2} + 1296 (- 2 x)$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 (x^{2} - 2 x) + 1296 \cdot 10}}{2 \cdot - 9}$

Paso 4.1.6.5

Factoriza $1296$ de $1296 (x^{2} - 2 x) + 1296 \cdot 10$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 (x^{2} - 2 x + 10)}}{2 \cdot - 9}$

Paso 4.1.7

Reescribe $1296 (x^{2} - 2 x + 10)$ como ${(6^{2})}^{2} (x^{2} - 2 x + 10)$ .

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Paso 4.1.7.1

Reescribe $1296$ como $36^{2}$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{36^{2} (x^{2} - 2 x + 10)}}{2 \cdot - 9}$

Paso 4.1.7.2

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{{(6^{2})}^{2} (x^{2} - 2 x + 10)}}{2 \cdot - 9}$

Paso 4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{108 \pm 6^{2} \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{2 \cdot - 9}$

Paso 4.1.9

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{108 \pm 36 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{2 \cdot - 9}$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $- 9$ .

$y = \frac{108 \pm 36 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{- 18}$

Paso 4.3

Simplifica $\frac{108 \pm 36 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{- 18}$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{- 1}$

Paso 4.4

Mueve el negativo del denominador de $\frac{6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$

Paso 4.5

Reescribe $- 1 \cdot (6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$ como $- (6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$ .

$y = - (6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$

Paso 4.6

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = - (6 + 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$

Paso 4.7

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - 1 \cdot 6 - (2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$

Paso 4.8

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$y = - 6 - (2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$

Paso 4.9

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = - 6 - 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}$

Paso 5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Eleva $- 108$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 - 4 \cdot - 9 \cdot (36 x^{2} - 72 x + 36)}}{2 \cdot - 9}$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 4$ por $- 9$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 36 \cdot (36 x^{2} - 72 x + 36)}}{2 \cdot - 9}$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 36 (36 x^{2}) + 36 (- 72 x) + 36 \cdot 36}}{2 \cdot - 9}$

Paso 5.1.4

Simplifica.

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Paso 5.1.4.1

Multiplica $36$ por $36$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 1296 x^{2} + 36 (- 72 x) + 36 \cdot 36}}{2 \cdot - 9}$

Paso 5.1.4.2

Multiplica $- 72$ por $36$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 1296 x^{2} - 2592 x + 36 \cdot 36}}{2 \cdot - 9}$

Paso 5.1.4.3

Multiplica $36$ por $36$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 1296 x^{2} - 2592 x + 1296}}{2 \cdot - 9}$

Paso 5.1.5

Suma $11664$ y $1296$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 x^{2} - 2592 x + 12960}}{2 \cdot - 9}$

Paso 5.1.6

Factoriza $1296$ de $1296 x^{2} - 2592 x + 12960$ .

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Paso 5.1.6.1

Factoriza $1296$ de $1296 x^{2}$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 (x^{2}) - 2592 x + 12960}}{2 \cdot - 9}$

Paso 5.1.6.2

Factoriza $1296$ de $- 2592 x$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 (x^{2}) + 1296 (- 2 x) + 12960}}{2 \cdot - 9}$

Paso 5.1.6.3

Factoriza $1296$ de $12960$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 x^{2} + 1296 (- 2 x) + 1296 \cdot 10}}{2 \cdot - 9}$

Paso 5.1.6.4

Factoriza $1296$ de $1296 x^{2} + 1296 (- 2 x)$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 (x^{2} - 2 x) + 1296 \cdot 10}}{2 \cdot - 9}$

Paso 5.1.6.5

Factoriza $1296$ de $1296 (x^{2} - 2 x) + 1296 \cdot 10$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 (x^{2} - 2 x + 10)}}{2 \cdot - 9}$

Paso 5.1.7

Reescribe $1296 (x^{2} - 2 x + 10)$ como ${(6^{2})}^{2} (x^{2} - 2 x + 10)$ .

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Paso 5.1.7.1

Reescribe $1296$ como $36^{2}$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{36^{2} (x^{2} - 2 x + 10)}}{2 \cdot - 9}$

Paso 5.1.7.2

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{{(6^{2})}^{2} (x^{2} - 2 x + 10)}}{2 \cdot - 9}$

Paso 5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{108 \pm 6^{2} \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{2 \cdot - 9}$

Paso 5.1.9

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{108 \pm 36 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{2 \cdot - 9}$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $- 9$ .

$y = \frac{108 \pm 36 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{- 18}$

Paso 5.3

Simplifica $\frac{108 \pm 36 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{- 18}$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{- 1}$

Paso 5.4

Mueve el negativo del denominador de $\frac{6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$

Paso 5.5

Reescribe $- 1 \cdot (6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$ como $- (6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$ .

$y = - (6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$

Paso 5.6

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = - (6 - 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$

Paso 5.7

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - 1 \cdot 6 - (- 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$

Paso 5.8

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$y = - 6 - (- 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$

Paso 5.9

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$y = - 6 + 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}$

Paso 6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = - 6 - 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}$

$y = - 6 + 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}$

Paso 7

La ecuación dada $y = - 6 - 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}, - 6 + 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}$ no puede escribirse como $y = k x^{2}$ , así es que $y$ no varía directamente con $x^{2}$ .

$y$ no varía directamente con $x$