Preálgebra Ejemplos

$3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x - 40 y + 103 = 0$

Paso 1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2

Sustituye los valores $a = 4$ , $b = - 40$ y $c = 3 x^{2} - 6 x + 103$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{40 \pm \sqrt{{(- 40)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot (3 x^{2} - 6 x + 103))}}{2 \cdot 4}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Eleva $- 40$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot 4 \cdot (3 x^{2} - 6 x + 103)}}{2 \cdot 4}$

Paso 3.1.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 16 \cdot (3 x^{2} - 6 x + 103)}}{2 \cdot 4}$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 16 (3 x^{2}) - 16 (- 6 x) - 16 \cdot 103}}{2 \cdot 4}$

Paso 3.1.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.4.1

Multiplica $3$ por $- 16$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 48 x^{2} - 16 (- 6 x) - 16 \cdot 103}}{2 \cdot 4}$

Paso 3.1.4.2

Multiplica $- 6$ por $- 16$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 48 x^{2} + 96 x - 16 \cdot 103}}{2 \cdot 4}$

Paso 3.1.4.3

Multiplica $- 16$ por $103$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 48 x^{2} + 96 x - 1648}}{2 \cdot 4}$

Paso 3.1.5

Resta $1648$ de $1600$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{- 48 x^{2} + 96 x - 48}}{2 \cdot 4}$

Paso 3.1.6

Reescribe $- 48 x^{2} + 96 x - 48$ en forma factorizada.

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Paso 3.1.6.1

Factoriza $48$ de $- 48 x^{2} + 96 x - 48$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.6.1.1

Factoriza $48$ de $- 48 x^{2}$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) + 96 x - 48}}{2 \cdot 4}$

Paso 3.1.6.1.2

Factoriza $48$ de $96 x$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) + 48 (2 x) - 48}}{2 \cdot 4}$

Paso 3.1.6.1.3

Factoriza $48$ de $- 48$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) + 48 (2 x) + 48 (- 1)}}{2 \cdot 4}$

Paso 3.1.6.1.4

Factoriza $48$ de $48 (- x^{2}) + 48 (2 x)$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 2 x) + 48 (- 1)}}{2 \cdot 4}$

Paso 3.1.6.1.5

Factoriza $48$ de $48 (- x^{2} + 2 x) + 48 (- 1)$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 2 x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Paso 3.1.6.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1.6.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ y cuya suma es $b = 2$ .

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Paso 3.1.6.2.1.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 2 (x) - 1)}}{2 \cdot 4}$

Paso 3.1.6.2.1.2

Reescribe $2$ como $1$ más $1$

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + (1 + 1) x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Paso 3.1.6.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 1 x + 1 x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Paso 3.1.6.2.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + x + 1 x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Paso 3.1.6.2.1.5

Multiplica $x$ por $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + x + x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Paso 3.1.6.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.1.6.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 ((- x^{2} + x) + x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Paso 3.1.6.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (x (- x + 1) - 1 (- x + 1))}}{2 \cdot 4}$

Paso 3.1.6.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x + 1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 ((- x + 1) (x - 1))}}{2 \cdot 4}$

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x + 1) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Paso 3.1.6.3

Combina exponentes.

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Paso 3.1.6.3.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- (x) + 1) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Paso 3.1.6.3.2

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- (x) - 1 \cdot - 1) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Paso 3.1.6.3.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- (x - 1)) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Paso 3.1.6.3.4

Reescribe $- (x - 1)$ como $- 1 (x - 1)$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- 1 (x - 1)) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Paso 3.1.6.3.5

Eleva $x - 1$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 \cdot (- 1 ((x - 1) (x - 1)))}}{2 \cdot 4}$

Paso 3.1.6.3.6

Eleva $x - 1$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 \cdot (- 1 ((x - 1) (x - 1)))}}{2 \cdot 4}$

Paso 3.1.6.3.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 \cdot (- 1 {(x - 1)}^{1 + 1})}}{2 \cdot 4}$

Paso 3.1.6.3.8

Suma $1$ y $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 \cdot (- 1 {(x - 1)}^{2})}}{2 \cdot 4}$

Paso 3.1.6.3.9

Multiplica $48$ por $- 1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{- 48 {(x - 1)}^{2}}}{2 \cdot 4}$

Paso 3.1.7

Reescribe $- 48 {(x - 1)}^{2}$ como ${(4 (x - 1))}^{2} \cdot - 3$ .

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Paso 3.1.7.1

Factoriza $16$ de $- 48$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{16 (- 3) {(x - 1)}^{2}}}{2 \cdot 4}$

Paso 3.1.7.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (- 3 {(x - 1)}^{2})}}{2 \cdot 4}$

Paso 3.1.7.3

Mueve $- 3$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{4^{2} {(x - 1)}^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 4}$

Paso 3.1.7.4

Reescribe $4^{2} {(x - 1)}^{2}$ como ${(4 (x - 1))}^{2}$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{{(4 (x - 1))}^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 4}$

Paso 3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{40 \pm 4 (x - 1) \sqrt{- 3}}{2 \cdot 4}$

Paso 3.1.9

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$y = \frac{40 \pm 4 (x - 1) \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Paso 3.1.10

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$y = \frac{40 \pm 4 (x - 1) (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Paso 3.1.11

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \frac{40 \pm 4 (x - 1) (i \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Paso 3.1.12

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{40 \pm (4 x + 4 \cdot - 1) (i \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Paso 3.1.13

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$y = \frac{40 \pm (4 x - 4) (i \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Paso 3.1.14

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{40 \pm (4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Paso 3.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$y = \frac{40 \pm (4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})}{8}$

Paso 4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Eleva $- 40$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot 4 \cdot (3 x^{2} - 6 x + 103)}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 16 \cdot (3 x^{2} - 6 x + 103)}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 16 (3 x^{2}) - 16 (- 6 x) - 16 \cdot 103}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.4.1

Multiplica $3$ por $- 16$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 48 x^{2} - 16 (- 6 x) - 16 \cdot 103}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.4.2

Multiplica $- 6$ por $- 16$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 48 x^{2} + 96 x - 16 \cdot 103}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.4.3

Multiplica $- 16$ por $103$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 48 x^{2} + 96 x - 1648}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.5

Resta $1648$ de $1600$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{- 48 x^{2} + 96 x - 48}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.6

Reescribe $- 48 x^{2} + 96 x - 48$ en forma factorizada.

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Paso 4.1.6.1

Factoriza $48$ de $- 48 x^{2} + 96 x - 48$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.1.1

Factoriza $48$ de $- 48 x^{2}$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) + 96 x - 48}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.6.1.2

Factoriza $48$ de $96 x$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) + 48 (2 x) - 48}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.6.1.3

Factoriza $48$ de $- 48$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) + 48 (2 x) + 48 (- 1)}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.6.1.4

Factoriza $48$ de $48 (- x^{2}) + 48 (2 x)$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 2 x) + 48 (- 1)}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.6.1.5

Factoriza $48$ de $48 (- x^{2} + 2 x) + 48 (- 1)$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 2 x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.6.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.1.6.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ y cuya suma es $b = 2$ .

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Paso 4.1.6.2.1.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 2 (x) - 1)}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.6.2.1.2

Reescribe $2$ como $1$ más $1$

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + (1 + 1) x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.6.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 1 x + 1 x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.6.2.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + x + 1 x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.6.2.1.5

Multiplica $x$ por $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + x + x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.6.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 ((- x^{2} + x) + x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.6.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (x (- x + 1) - 1 (- x + 1))}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.6.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x + 1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 ((- x + 1) (x - 1))}}{2 \cdot 4}$

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x + 1) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.6.3

Combina exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.3.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- (x) + 1) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.6.3.2

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- (x) - 1 \cdot - 1) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.6.3.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- (x - 1)) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.6.3.4

Reescribe $- (x - 1)$ como $- 1 (x - 1)$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- 1 (x - 1)) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.6.3.5

Eleva $x - 1$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 \cdot (- 1 ((x - 1) (x - 1)))}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.6.3.6

Eleva $x - 1$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 \cdot (- 1 ((x - 1) (x - 1)))}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.6.3.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 \cdot (- 1 {(x - 1)}^{1 + 1})}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.6.3.8

Suma $1$ y $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 \cdot (- 1 {(x - 1)}^{2})}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.6.3.9

Multiplica $48$ por $- 1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{- 48 {(x - 1)}^{2}}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.7

Reescribe $- 48 {(x - 1)}^{2}$ como ${(4 (x - 1))}^{2} \cdot - 3$ .

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Paso 4.1.7.1

Factoriza $16$ de $- 48$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{16 (- 3) {(x - 1)}^{2}}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.7.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (- 3 {(x - 1)}^{2})}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.7.3

Mueve $- 3$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{4^{2} {(x - 1)}^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.7.4

Reescribe $4^{2} {(x - 1)}^{2}$ como ${(4 (x - 1))}^{2}$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{{(4 (x - 1))}^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{40 \pm 4 (x - 1) \sqrt{- 3}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.9

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$y = \frac{40 \pm 4 (x - 1) \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.10

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$y = \frac{40 \pm 4 (x - 1) (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.11

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \frac{40 \pm 4 (x - 1) (i \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.12

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{40 \pm (4 x + 4 \cdot - 1) (i \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.13

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$y = \frac{40 \pm (4 x - 4) (i \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Paso 4.1.14

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{40 \pm (4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$y = \frac{40 \pm (4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})}{8}$

Paso 4.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{40 + 4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3}}{8}$

Paso 4.4

Cancela el factor común de $40 + 4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3}$ y $8$ .

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Paso 4.4.1

Factoriza $4$ de $40$ .

$y = \frac{4 (10) + 4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3}}{8}$

Paso 4.4.2

Factoriza $4$ de $4 x i \sqrt{3}$ .

$y = \frac{4 (10) + 4 (x i \sqrt{3}) - 4 i \sqrt{3}}{8}$

Paso 4.4.3

Factoriza $4$ de $- 4 i \sqrt{3}$ .

$y = \frac{4 (10) + 4 (x i \sqrt{3}) + 4 (- i \sqrt{3})}{8}$

Paso 4.4.4

Factoriza $4$ de $4 (x i \sqrt{3}) + 4 (- i \sqrt{3})$ .

$y = \frac{4 (10) + 4 (x i \sqrt{3} - i \sqrt{3})}{8}$

Paso 4.4.5

Factoriza $4$ de $4 (10) + 4 (x i \sqrt{3} - i \sqrt{3})$ .

$y = \frac{4 (10 + x i \sqrt{3} - i \sqrt{3})}{8}$

Paso 4.4.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.4.6.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$y = \frac{4 (10 + x i \sqrt{3} - i \sqrt{3})}{4 \cdot 2}$

Paso 4.4.6.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{4 (10 + x i \sqrt{3} - i \sqrt{3})}{4 \cdot 2}$

Paso 4.4.6.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{10 + x i \sqrt{3} - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 4.5

Reordena los términos.

$y = \frac{i x \sqrt{3} - i \sqrt{3} + 10}{2}$

Paso 5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Eleva $- 40$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot 4 \cdot (3 x^{2} - 6 x + 103)}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 16 \cdot (3 x^{2} - 6 x + 103)}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 16 (3 x^{2}) - 16 (- 6 x) - 16 \cdot 103}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.4.1

Multiplica $3$ por $- 16$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 48 x^{2} - 16 (- 6 x) - 16 \cdot 103}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.4.2

Multiplica $- 6$ por $- 16$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 48 x^{2} + 96 x - 16 \cdot 103}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.4.3

Multiplica $- 16$ por $103$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 48 x^{2} + 96 x - 1648}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.5

Resta $1648$ de $1600$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{- 48 x^{2} + 96 x - 48}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.6

Reescribe $- 48 x^{2} + 96 x - 48$ en forma factorizada.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.6.1

Factoriza $48$ de $- 48 x^{2} + 96 x - 48$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.6.1.1

Factoriza $48$ de $- 48 x^{2}$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) + 96 x - 48}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.6.1.2

Factoriza $48$ de $96 x$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) + 48 (2 x) - 48}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.6.1.3

Factoriza $48$ de $- 48$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) + 48 (2 x) + 48 (- 1)}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.6.1.4

Factoriza $48$ de $48 (- x^{2}) + 48 (2 x)$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 2 x) + 48 (- 1)}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.6.1.5

Factoriza $48$ de $48 (- x^{2} + 2 x) + 48 (- 1)$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 2 x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.6.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.1.6.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ y cuya suma es $b = 2$ .

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Paso 5.1.6.2.1.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 2 (x) - 1)}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.6.2.1.2

Reescribe $2$ como $1$ más $1$

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + (1 + 1) x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.6.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 1 x + 1 x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.6.2.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + x + 1 x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.6.2.1.5

Multiplica $x$ por $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + x + x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.6.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.1.6.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 ((- x^{2} + x) + x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.6.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (x (- x + 1) - 1 (- x + 1))}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.6.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x + 1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 ((- x + 1) (x - 1))}}{2 \cdot 4}$

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x + 1) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.6.3

Combina exponentes.

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Paso 5.1.6.3.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- (x) + 1) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.6.3.2

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- (x) - 1 \cdot - 1) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.6.3.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- (x - 1)) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.6.3.4

Reescribe $- (x - 1)$ como $- 1 (x - 1)$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- 1 (x - 1)) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.6.3.5

Eleva $x - 1$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 \cdot (- 1 ((x - 1) (x - 1)))}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.6.3.6

Eleva $x - 1$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 \cdot (- 1 ((x - 1) (x - 1)))}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.6.3.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 \cdot (- 1 {(x - 1)}^{1 + 1})}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.6.3.8

Suma $1$ y $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 \cdot (- 1 {(x - 1)}^{2})}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.6.3.9

Multiplica $48$ por $- 1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{- 48 {(x - 1)}^{2}}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.7

Reescribe $- 48 {(x - 1)}^{2}$ como ${(4 (x - 1))}^{2} \cdot - 3$ .

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Paso 5.1.7.1

Factoriza $16$ de $- 48$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{16 (- 3) {(x - 1)}^{2}}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.7.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (- 3 {(x - 1)}^{2})}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.7.3

Mueve $- 3$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{4^{2} {(x - 1)}^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.7.4

Reescribe $4^{2} {(x - 1)}^{2}$ como ${(4 (x - 1))}^{2}$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{{(4 (x - 1))}^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{40 \pm 4 (x - 1) \sqrt{- 3}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.9

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$y = \frac{40 \pm 4 (x - 1) \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.10

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$y = \frac{40 \pm 4 (x - 1) (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.11

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \frac{40 \pm 4 (x - 1) (i \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.12

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{40 \pm (4 x + 4 \cdot - 1) (i \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.13

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$y = \frac{40 \pm (4 x - 4) (i \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Paso 5.1.14

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{40 \pm (4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$y = \frac{40 \pm (4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})}{8}$

Paso 5.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{40 - (4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})}{8}$

Paso 5.4

Cancela el factor común de $40 - (4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})$ y $8$ .

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Paso 5.4.1

Reescribe $40$ como $- 1 (- 40)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot - 40 - (4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})}{8}$

Paso 5.4.2

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- 40) - (4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})$ .

$y = \frac{- 1 (- 40 + 4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})}{8}$

Paso 5.4.3

Factoriza $4$ de $- 1 (- 40 + 4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})$ .

$y = \frac{4 (- 1 (- 10 + x i \sqrt{3} - i \sqrt{3}))}{8}$

Paso 5.4.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.4.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$y = \frac{4 (- 1 (- 10 + x i \sqrt{3} - i \sqrt{3}))}{4 (2)}$

Paso 5.4.4.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{4 (- 1 (- 10 + x i \sqrt{3} - i \sqrt{3}))}{4 \cdot 2}$

Paso 5.4.4.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{- 1 (- 10 + x i \sqrt{3} - i \sqrt{3})}{2}$

Paso 5.5

Reordena los términos.

$y = \frac{- 1 (i x \sqrt{3} - i \sqrt{3} - 10)}{2}$

Paso 5.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{i x \sqrt{3} - i \sqrt{3} - 10}{2}$

Paso 6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = \frac{i x \sqrt{3} - i \sqrt{3} + 10}{2}$

$y = - \frac{i x \sqrt{3} - i \sqrt{3} - 10}{2}$

Paso 7

La ecuación dada $y = \frac{i x \sqrt{3} - i \sqrt{3} + 10}{2}, - \frac{i x \sqrt{3} - i \sqrt{3} - 10}{2}$ no puede escribirse como $y = k x^{2}$ , así es que $y$ no varía directamente con $x^{2}$ .

$y$ no varía directamente con $x$