Preálgebra Ejemplos

$\frac{2 s}{s^{2} - 2 s + 1} + \frac{1}{s^{2} + 6 s - 7}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{2 s}{s^{2} - 2 s + 1^{2}} + \frac{1}{s^{2} + 6 s - 7}$

Paso 1.1.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 s = 2 \cdot s \cdot 1$

Paso 1.1.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{2 s}{s^{2} - 2 \cdot s \cdot 1 + 1^{2}} + \frac{1}{s^{2} + 6 s - 7}$

Paso 1.1.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = s$ y $b = 1$ .

$\frac{2 s}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{1}{s^{2} + 6 s - 7}$

Paso 1.2

Factoriza $s^{2} + 6 s - 7$ con el método AC.

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Paso 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 7$ y cuya suma es $6$ .

$- 1, 7$

Paso 1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{2 s}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{1}{(s - 1) (s + 7)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{2 s}{{(s - 1)}^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{s + 7}{s + 7}$ .

$\frac{2 s}{{(s - 1)}^{2}} \cdot \frac{s + 7}{s + 7} + \frac{1}{(s - 1) (s + 7)}$

Paso 3

Para escribir $\frac{1}{(s - 1) (s + 7)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{s - 1}{s - 1}$ .

$\frac{2 s}{{(s - 1)}^{2}} \cdot \frac{s + 7}{s + 7} + \frac{1}{(s - 1) (s + 7)} \cdot \frac{s - 1}{s - 1}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(s + 7) {(s - 1)}^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{2 s}{{(s - 1)}^{2}}$ por $\frac{s + 7}{s + 7}$ .

$\frac{2 s (s + 7)}{{(s - 1)}^{2} (s + 7)} + \frac{1}{(s - 1) (s + 7)} \cdot \frac{s - 1}{s - 1}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{1}{(s - 1) (s + 7)}$ por $\frac{s - 1}{s - 1}$ .

$\frac{2 s (s + 7)}{{(s - 1)}^{2} (s + 7)} + \frac{s - 1}{(s - 1) (s + 7) (s - 1)}$

Paso 4.3

Eleva $s - 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 s (s + 7)}{{(s - 1)}^{2} (s + 7)} + \frac{s - 1}{{(s - 1)}^{1} (s - 1) (s + 7)}$

Paso 4.4

Eleva $s - 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 s (s + 7)}{{(s - 1)}^{2} (s + 7)} + \frac{s - 1}{{(s - 1)}^{1} {(s - 1)}^{1} (s + 7)}$

Paso 4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 s (s + 7)}{{(s - 1)}^{2} (s + 7)} + \frac{s - 1}{{(s - 1)}^{1 + 1} (s + 7)}$

Paso 4.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 s (s + 7)}{{(s - 1)}^{2} (s + 7)} + \frac{s - 1}{{(s - 1)}^{2} (s + 7)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 s (s + 7) + s - 1}{{(s - 1)}^{2} (s + 7)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 s \cdot s + 2 s \cdot 7 + s - 1}{{(s - 1)}^{2} (s + 7)}$

Paso 6.2

Multiplica $s$ por $s$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.1

Mueve $s$ .

$\frac{2 (s \cdot s) + 2 s \cdot 7 + s - 1}{{(s - 1)}^{2} (s + 7)}$

Paso 6.2.2

Multiplica $s$ por $s$ .

$\frac{2 s^{2} + 2 s \cdot 7 + s - 1}{{(s - 1)}^{2} (s + 7)}$

Paso 6.3

Multiplica $7$ por $2$ .

$\frac{2 s^{2} + 14 s + s - 1}{{(s - 1)}^{2} (s + 7)}$

Paso 6.4

Suma $14 s$ y $s$ .

$\frac{2 s^{2} + 15 s - 1}{{(s - 1)}^{2} (s + 7)}$