Preálgebra Ejemplos

$f (x) = - 2 x^{4} + 25 x^{3} - 95 x^{2} + 90 x + 72$

Paso 1

Comprueba el coeficiente principal de la función. Este número es el coeficiente de la expresión con mayor grado.

Grado más grande: $4$

Coeficiente principal: $- 2$

Paso 2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 2.1.1

Cancela el factor común.

$f (x) = \frac{- 2 x^{4}}{- 2} + \frac{25 x^{3}}{- 2} + \frac{- 95 x^{2}}{- 2} + \frac{90 x}{- 2} + \frac{72}{- 2}$

Paso 2.1.2

Divide $x^{4}$ por $1$ .

$f (x) = x^{4} + \frac{25 x^{3}}{- 2} + \frac{- 95 x^{2}}{- 2} + \frac{90 x}{- 2} + \frac{72}{- 2}$

Paso 2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (x) = x^{4} - \frac{25 x^{3}}{2} + \frac{- 95 x^{2}}{- 2} + \frac{90 x}{- 2} + \frac{72}{- 2}$

Paso 2.3

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$f (x) = x^{4} - \frac{25 x^{3}}{2} + \frac{95 x^{2}}{2} + \frac{90 x}{- 2} + \frac{72}{- 2}$

Paso 2.4

Cancela el factor común de $90$ y $- 2$ .

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Paso 2.4.1

Factoriza $2$ de $90 x$ .

$f (x) = x^{4} - \frac{25 x^{3}}{2} + \frac{95 x^{2}}{2} + \frac{2 (45 x)}{- 2} + \frac{72}{- 2}$

Paso 2.4.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{45 x}{- 1}$ .

$f (x) = x^{4} - \frac{25 x^{3}}{2} + \frac{95 x^{2}}{2} - 1 \cdot (45 x) + \frac{72}{- 2}$

Paso 2.5

Reescribe $- 1 \cdot (45 x)$ como $- (45 x)$ .

$f (x) = x^{4} - \frac{25 x^{3}}{2} + \frac{95 x^{2}}{2} - (45 x) + \frac{72}{- 2}$

Paso 2.6

Multiplica $45$ por $- 1$ .

$f (x) = x^{4} - \frac{25 x^{3}}{2} + \frac{95 x^{2}}{2} - 45 x + \frac{72}{- 2}$

Paso 2.7

Divide $72$ por $- 2$ .

$f (x) = x^{4} - \frac{25 x^{3}}{2} + \frac{95 x^{2}}{2} - 45 x - 36$

Paso 3

Crea una lista de los coeficientes de la función excepto el coeficiente principal de $1$ .

$- \frac{25}{2}, \frac{95}{2}, - 45, - 36$

Paso 4

Hay dos opciones de cota, $b_{1}$ y $b_{2}$ , la menor de las cuales es la respuesta. Para calcular la primera opción de cota, obtén el valor absoluto del coeficiente más grande de la lista de coeficientes. Luego, suma $1$ .

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Paso 4.1

Organiza los términos en orden ascendente.

$b_{1} = | - \frac{25}{2} |, | - 36 |, | - 45 |, | \frac{95}{2} |$

Paso 4.2

El valor máximo es el mayor valor en el conjunto de datos ordenado.

$b_{1} = | \frac{95}{2} |$

Paso 4.3

$\frac{95}{2}$ es aproximadamente $47.5$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$b_{1} = \frac{95}{2} + 1$

Paso 4.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$b_{1} = \frac{95}{2} + \frac{2}{2}$

Paso 4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$b_{1} = \frac{95 + 2}{2}$

Paso 4.6

Suma $95$ y $2$ .

$b_{1} = \frac{97}{2}$

Paso 5

Para calcular la segunda opción de cota, suma los valores absolutos de los coeficientes de la lista de coeficientes. Si la suma es mayor que $1$ , usa ese número. De lo contrario, usa $1$ .

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Paso 5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1

$- \frac{25}{2}$ es aproximadamente $- 12.5$ , que es negativo, así es que niega $- \frac{25}{2}$ y elimina el valor absoluto.

$b_{2} = \frac{25}{2} + | \frac{95}{2} | + | - 45 | + | - 36 |$

Paso 5.1.2

$\frac{95}{2}$ es aproximadamente $47.5$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$b_{2} = \frac{25}{2} + \frac{95}{2} + | - 45 | + | - 36 |$

Paso 5.1.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 45$ y $0$ es $45$ .

$b_{2} = \frac{25}{2} + \frac{95}{2} + 45 + | - 36 |$

Paso 5.1.4

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 36$ y $0$ es $36$ .

$b_{2} = \frac{25}{2} + \frac{95}{2} + 45 + 36$

Paso 5.2

Combina fracciones.

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Paso 5.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$b_{2} = 45 + 36 + \frac{25 + 95}{2}$

Paso 5.2.2

Suma $25$ y $95$ .

$b_{2} = 45 + 36 + \frac{120}{2}$

Paso 5.3

Obtén el denominador común

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Paso 5.3.1

Escribe $45$ como una fracción con el denominador $1$ .

$b_{2} = \frac{45}{1} + 36 + \frac{120}{2}$

Paso 5.3.2

Multiplica $\frac{45}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$b_{2} = \frac{45}{1} \cdot \frac{2}{2} + 36 + \frac{120}{2}$

Paso 5.3.3

Multiplica $\frac{45}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$b_{2} = \frac{45 \cdot 2}{2} + 36 + \frac{120}{2}$

Paso 5.3.4

Escribe $36$ como una fracción con el denominador $1$ .

$b_{2} = \frac{45 \cdot 2}{2} + \frac{36}{1} + \frac{120}{2}$

Paso 5.3.5

Multiplica $\frac{36}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$b_{2} = \frac{45 \cdot 2}{2} + \frac{36}{1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{120}{2}$

Paso 5.3.6

Multiplica $\frac{36}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$b_{2} = \frac{45 \cdot 2}{2} + \frac{36 \cdot 2}{2} + \frac{120}{2}$

Paso 5.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$b_{2} = \frac{45 \cdot 2 + 36 \cdot 2 + 120}{2}$

Paso 5.5

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.1

Multiplica $45$ por $2$ .

$b_{2} = \frac{90 + 36 \cdot 2 + 120}{2}$

Paso 5.5.2

Multiplica $36$ por $2$ .

$b_{2} = \frac{90 + 72 + 120}{2}$

Paso 5.6

Simplifica la expresión.

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Paso 5.6.1

Suma $90$ y $72$ .

$b_{2} = \frac{162 + 120}{2}$

Paso 5.6.2

Suma $162$ y $120$ .

$b_{2} = \frac{282}{2}$

Paso 5.6.3

Divide $282$ por $2$ .

$b_{2} = 141$

Paso 5.7

Organiza los términos en orden ascendente.

$b_{2} = 1, 141$

Paso 5.8

El valor máximo es el mayor valor en el conjunto de datos ordenado.

$b_{2} = 141$

Paso 6

Resta la opción de cota inferior entre $b_{1} = \frac{97}{2}$ y $b_{2} = 141$ .

Cota inferior: $\frac{97}{2}$

Paso 7

Cada raíz real en $f (x) = - 2 x^{4} + 25 x^{3} - 95 x^{2} + 90 x + 72$ se encuentra entre $- \frac{97}{2}$ y $\frac{97}{2}$ .

$- \frac{97}{2}$ y $\frac{97}{2}$