Preálgebra Ejemplos

$f (x) = 4 x^{3} - x^{2} - 256 x + 64$

Paso 1

Comprueba el coeficiente principal de la función. Este número es el coeficiente de la expresión con mayor grado.

Grado más grande: $3$

Coeficiente principal: $4$

Paso 2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.1.1

Cancela el factor común.

$f (x) = \frac{4 x^{3}}{4} + \frac{- x^{2}}{4} + \frac{- 256 x}{4} + \frac{64}{4}$

Paso 2.1.2

Divide $x^{3}$ por $1$ .

$f (x) = x^{3} + \frac{- x^{2}}{4} + \frac{- 256 x}{4} + \frac{64}{4}$

Paso 2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (x) = x^{3} - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 256 x}{4} + \frac{64}{4}$

Paso 2.3

Cancela el factor común de $- 256$ y $4$ .

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Paso 2.3.1

Factoriza $4$ de $- 256 x$ .

$f (x) = x^{3} - \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (- 64 x)}{4} + \frac{64}{4}$

Paso 2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$f (x) = x^{3} - \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (- 64 x)}{4 (1)} + \frac{64}{4}$

Paso 2.3.2.2

Cancela el factor común.

$f (x) = x^{3} - \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (- 64 x)}{4 \cdot 1} + \frac{64}{4}$

Paso 2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f (x) = x^{3} - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 64 x}{1} + \frac{64}{4}$

Paso 2.3.2.4

Divide $- 64 x$ por $1$ .

$f (x) = x^{3} - \frac{x^{2}}{4} - 64 x + \frac{64}{4}$

Paso 2.4

Divide $64$ por $4$ .

$f (x) = x^{3} - \frac{x^{2}}{4} - 64 x + 16$

Paso 3

Crea una lista de los coeficientes de la función excepto el coeficiente principal de $1$ .

$- \frac{1}{4}, - 64, 16$

Paso 4

Hay dos opciones de cota, $b_{1}$ y $b_{2}$ , la menor de las cuales es la respuesta. Para calcular la primera opción de cota, obtén el valor absoluto del coeficiente más grande de la lista de coeficientes. Luego, suma $1$ .

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Paso 4.1

Organiza los términos en orden ascendente.

$b_{1} = | - \frac{1}{4} |, | 16 |, | - 64 |$

Paso 4.2

El valor máximo es el mayor valor en el conjunto de datos ordenado.

$b_{1} = | - 64 |$

Paso 4.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 64$ y $0$ es $64$ .

$b_{1} = 64 + 1$

Paso 4.4

Suma $64$ y $1$ .

$b_{1} = 65$

Paso 5

Para calcular la segunda opción de cota, suma los valores absolutos de los coeficientes de la lista de coeficientes. Si la suma es mayor que $1$ , usa ese número. De lo contrario, usa $1$ .

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Paso 5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1

$- \frac{1}{4}$ es aproximadamente $- 0.25$ , que es negativo, así es que niega $- \frac{1}{4}$ y elimina el valor absoluto.

$b_{2} = \frac{1}{4} + | - 64 | + | 16 |$

Paso 5.1.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 64$ y $0$ es $64$ .

$b_{2} = \frac{1}{4} + 64 + | 16 |$

Paso 5.1.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $16$ es $16$ .

$b_{2} = \frac{1}{4} + 64 + 16$

Paso 5.2

Obtén el denominador común

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Paso 5.2.1

Escribe $64$ como una fracción con el denominador $1$ .

$b_{2} = \frac{1}{4} + \frac{64}{1} + 16$

Paso 5.2.2

Multiplica $\frac{64}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$b_{2} = \frac{1}{4} + \frac{64}{1} \cdot \frac{4}{4} + 16$

Paso 5.2.3

Multiplica $\frac{64}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$b_{2} = \frac{1}{4} + \frac{64 \cdot 4}{4} + 16$

Paso 5.2.4

Escribe $16$ como una fracción con el denominador $1$ .

$b_{2} = \frac{1}{4} + \frac{64 \cdot 4}{4} + \frac{16}{1}$

Paso 5.2.5

Multiplica $\frac{16}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$b_{2} = \frac{1}{4} + \frac{64 \cdot 4}{4} + \frac{16}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 5.2.6

Multiplica $\frac{16}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$b_{2} = \frac{1}{4} + \frac{64 \cdot 4}{4} + \frac{16 \cdot 4}{4}$

Paso 5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$b_{2} = \frac{1 + 64 \cdot 4 + 16 \cdot 4}{4}$

Paso 5.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.1

Multiplica $64$ por $4$ .

$b_{2} = \frac{1 + 256 + 16 \cdot 4}{4}$

Paso 5.4.2

Multiplica $16$ por $4$ .

$b_{2} = \frac{1 + 256 + 64}{4}$

Paso 5.5

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 5.5.1

Suma $1$ y $256$ .

$b_{2} = \frac{257 + 64}{4}$

Paso 5.5.2

Suma $257$ y $64$ .

$b_{2} = \frac{321}{4}$

Paso 5.6

Organiza los términos en orden ascendente.

$b_{2} = 1, \frac{321}{4}$

Paso 5.7

El valor máximo es el mayor valor en el conjunto de datos ordenado.

$b_{2} = \frac{321}{4}$

Paso 6

Resta la opción de cota inferior entre $b_{1} = 65$ y $b_{2} = \frac{321}{4}$ .

Cota inferior: $65$

Paso 7

Cada raíz real en $f (x) = 4 x^{3} - x^{2} - 256 x + 64$ se encuentra entre $- 65$ y $65$ .

$- 65$ y $65$