Preálgebra Ejemplos

$2 y^{6} - 5 y^{3} + 5$ , $- (8 y^{6} + 15 y^{3} + 6)$

Paso 1

Reagrupa los términos.

$2 y^{6} - (8 y^{6} + 15 y^{3} + 6) - 5 y^{3} + 5$

Paso 2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y^{6} - (8 y^{6}) - (15 y^{3}) - 1 \cdot 6 - 5 y^{3} + 5$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$2 y^{6} - 8 y^{6} - (15 y^{3}) - 1 \cdot 6 - 5 y^{3} + 5$

Paso 3.2

Multiplica $15$ por $- 1$ .

$2 y^{6} - 8 y^{6} - 15 y^{3} - 1 \cdot 6 - 5 y^{3} + 5$

Paso 3.3

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$2 y^{6} - 8 y^{6} - 15 y^{3} - 6 - 5 y^{3} + 5$

Paso 4

Resta $8 y^{6}$ de $2 y^{6}$ .

$- 6 y^{6} - 15 y^{3} - 6 - 5 y^{3} + 5$

Paso 5

Reescribe $- 6 y^{6} - 15 y^{3} - 6$ en forma factorizada.

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Paso 5.1

Factoriza $- 3$ de $- 6 y^{6} - 15 y^{3} - 6$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $- 3$ de $- 6 y^{6}$ .

$- 3 (2 y^{6}) - 15 y^{3} - 6 - 5 y^{3} + 5$

Paso 5.1.2

Factoriza $- 3$ de $- 15 y^{3}$ .

$- 3 (2 y^{6}) - 3 (5 y^{3}) - 6 - 5 y^{3} + 5$

Paso 5.1.3

Factoriza $- 3$ de $- 6$ .

$- 3 (2 y^{6}) - 3 (5 y^{3}) - 3 (2) - 5 y^{3} + 5$

Paso 5.1.4

Factoriza $- 3$ de $- 3 (2 y^{6}) - 3 (5 y^{3})$ .

$- 3 (2 y^{6} + 5 y^{3}) - 3 (2) - 5 y^{3} + 5$

Paso 5.1.5

Factoriza $- 3$ de $- 3 (2 y^{6} + 5 y^{3}) - 3 (2)$ .

$- 3 (2 y^{6} + 5 y^{3} + 2) - 5 y^{3} + 5$

Paso 5.2

Reescribe $y^{6}$ como ${(y^{3})}^{2}$ .

$- 3 (2 {(y^{3})}^{2} + 5 y^{3} + 2) - 5 y^{3} + 5$

Paso 5.3

Sea $u = y^{3}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $y^{3}$ .

$- 3 (2 u^{2} + 5 u + 2) - 5 y^{3} + 5$

Paso 5.4

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.4.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ y cuya suma es $b = 5$ .

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Paso 5.4.1.1

Factoriza $5$ de $5 u$ .

$- 3 (2 u^{2} + 5 (u) + 2) - 5 y^{3} + 5$

Paso 5.4.1.2

Reescribe $5$ como $1$ más $4$

$- 3 (2 u^{2} + (1 + 4) u + 2) - 5 y^{3} + 5$

Paso 5.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 3 (2 u^{2} + 1 u + 4 u + 2) - 5 y^{3} + 5$

Paso 5.4.1.4

Multiplica $u$ por $1$ .

$- 3 (2 u^{2} + u + 4 u + 2) - 5 y^{3} + 5$

Paso 5.4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- 3 ((2 u^{2} + u) + 4 u + 2) - 5 y^{3} + 5$

Paso 5.4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- 3 (u (2 u + 1) + 2 (2 u + 1)) - 5 y^{3} + 5$

Paso 5.4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u + 1$ .

$- 3 ((2 u + 1) (u + 2)) - 5 y^{3} + 5$

Paso 5.5

Factoriza.

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Paso 5.5.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y^{3}$ .

$- 3 ((2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2)) - 5 y^{3} + 5$

Paso 5.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 y^{3} + 5$

Paso 6

Factoriza $- 5$ de $- 5 y^{3} + 5$ .

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Paso 6.1

Factoriza $- 5$ de $- 5 y^{3}$ .

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 (y^{3}) + 5$

Paso 6.2

Factoriza $- 5$ de $5$ .

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 (y^{3}) - 5 (- 1)$

Paso 6.3

Factoriza $- 5$ de $- 5 (y^{3}) - 5 (- 1)$ .

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 (y^{3} - 1)$

Paso 7

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 (y^{3} - 1^{3})$

Paso 8

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = y$ y $b = 1$ .

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 ((y - 1) (y^{2} + y \cdot 1 + 1^{2}))$

Paso 9

Factoriza.

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Paso 9.1

Simplifica.

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Paso 9.1.1

Multiplica $y$ por $1$ .

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 ((y - 1) (y^{2} + y + 1^{2}))$

Paso 9.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 ((y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Paso 9.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1)$

Paso 10

Factoriza $- 1$ de $- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) - 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1)$ .

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Paso 10.1

Factoriza $- 1$ de $- 3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2)$ .

$- (3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2)) - 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1)$

Paso 10.2

Factoriza $- 1$ de $- 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1)$ .

$- (3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2)) - (5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Paso 10.3

Factoriza $- 1$ de $- (3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2)) - (5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$ .

$- (3 (2 y^{3} + 1) (y^{3} + 2) + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Paso 11

Aplica la propiedad distributiva.

$- ((3 (2 y^{3}) + 3 \cdot 1) (y^{3} + 2) + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Paso 12

Multiplica $2$ por $3$ .

$- ((6 y^{3} + 3 \cdot 1) (y^{3} + 2) + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Paso 13

Multiplica $3$ por $1$ .

$- ((6 y^{3} + 3) (y^{3} + 2) + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Paso 14

Expande $(6 y^{3} + 3) (y^{3} + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 14.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- (6 y^{3} (y^{3} + 2) + 3 (y^{3} + 2) + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Paso 14.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- (6 y^{3} y^{3} + 6 y^{3} \cdot 2 + 3 (y^{3} + 2) + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Paso 14.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- (6 y^{3} y^{3} + 6 y^{3} \cdot 2 + 3 y^{3} + 3 \cdot 2 + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Paso 15

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 15.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.1.1

Multiplica $y^{3}$ por $y^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 15.1.1.1

Mueve $y^{3}$ .

$- (6 (y^{3} y^{3}) + 6 y^{3} \cdot 2 + 3 y^{3} + 3 \cdot 2 + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Paso 15.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- (6 y^{3 + 3} + 6 y^{3} \cdot 2 + 3 y^{3} + 3 \cdot 2 + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Paso 15.1.1.3

Suma $3$ y $3$ .

$- (6 y^{6} + 6 y^{3} \cdot 2 + 3 y^{3} + 3 \cdot 2 + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Paso 15.1.2

Multiplica $2$ por $6$ .

$- (6 y^{6} + 12 y^{3} + 3 y^{3} + 3 \cdot 2 + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Paso 15.1.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$- (6 y^{6} + 12 y^{3} + 3 y^{3} + 6 + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Paso 15.2

Suma $12 y^{3}$ y $3 y^{3}$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 (y - 1) (y^{2} + y + 1))$

Paso 16

Aplica la propiedad distributiva.

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + (5 y + 5 \cdot - 1) (y^{2} + y + 1))$

Paso 17

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + (5 y - 5) (y^{2} + y + 1))$

Paso 18

Expande $(5 y - 5) (y^{2} + y + 1)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y \cdot y^{2} + 5 y \cdot y + 5 y \cdot 1 - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Paso 19

Simplifica cada término.

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Paso 19.1

Multiplica $y$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 19.1.1

Mueve $y^{2}$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 (y^{2} y) + 5 y \cdot y + 5 y \cdot 1 - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Paso 19.1.2

Multiplica $y^{2}$ por $y$ .

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Paso 19.1.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 (y^{2} y^{1}) + 5 y \cdot y + 5 y \cdot 1 - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Paso 19.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{2 + 1} + 5 y \cdot y + 5 y \cdot 1 - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Paso 19.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 5 y \cdot y + 5 y \cdot 1 - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Paso 19.2

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 19.2.1

Mueve $y$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 5 (y \cdot y) + 5 y \cdot 1 - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Paso 19.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 5 y^{2} + 5 y \cdot 1 - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Paso 19.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 5 y^{2} + 5 y - 5 y^{2} - 5 y - 5 \cdot 1)$

Paso 19.4

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 5 y^{2} + 5 y - 5 y^{2} - 5 y - 5)$

Paso 20

Combina los términos opuestos en $5 y^{3} + 5 y^{2} + 5 y - 5 y^{2} - 5 y - 5$ .

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Paso 20.1

Resta $5 y^{2}$ de $5 y^{2}$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 5 y + 0 - 5 y - 5)$

Paso 20.2

Suma $5 y^{3} + 5 y$ y $0$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 5 y - 5 y - 5)$

Paso 20.3

Resta $5 y$ de $5 y$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} + 0 - 5)$

Paso 20.4

Suma $5 y^{3}$ y $0$ .

$- (6 y^{6} + 15 y^{3} + 6 + 5 y^{3} - 5)$

Paso 21

Suma $15 y^{3}$ y $5 y^{3}$ .

$- (6 y^{6} + 20 y^{3} + 6 - 5)$

Paso 22

Resta $5$ de $6$ .

$- (6 y^{6} + 20 y^{3} + 1)$

Paso 23

El máximo común divisor $GCF$ es el término en frente de la expresión factorizada.

$- 1$