Preálgebra Ejemplos

$(- 7, 5)$ , $(- 8, - 3)$

Paso 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Paso 2

Find the dot product.

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Paso 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 7 \cdot - 8 + 5 \cdot - 3$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $- 7$ por $- 8$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 56 + 5 \cdot - 3$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $5$ por $- 3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 56 - 15$

Paso 2.2.2

Resta $15$ de $56$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 41$

Paso 3

Obtén la magnitud de $a⃗$ .

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Paso 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 7)}^{2} + 5^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Eleva $- 7$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{49 + 5^{2}}$

Paso 3.2.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{49 + 25}$

Paso 3.2.3

Suma $49$ y $25$ .

$| a⃗ | = \sqrt{74}$

Paso 4

Obtén la magnitud de $b⃗$ .

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Paso 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 8)}^{2} + {(- 3)}^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{64 + {(- 3)}^{2}}$

Paso 4.2.2

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{64 + 9}$

Paso 4.2.3

Suma $64$ y $9$ .

$| b⃗ | = \sqrt{73}$

Paso 5

Sustituye los valores en la fórmula.

$θ = \arccos (\frac{41}{\sqrt{74} \sqrt{73}})$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica el denominador.

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Paso 6.1.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$θ = \arccos (\frac{41}{\sqrt{74 \cdot 73}})$

Paso 6.1.2

Multiplica $74$ por $73$ .

$θ = \arccos (\frac{41}{\sqrt{5402}})$

Paso 6.2

Multiplica $\frac{41}{\sqrt{5402}}$ por $\frac{\sqrt{5402}}{\sqrt{5402}}$ .

$θ = \arccos (\frac{41}{\sqrt{5402}} \cdot \frac{\sqrt{5402}}{\sqrt{5402}})$

Paso 6.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 6.3.1

Multiplica $\frac{41}{\sqrt{5402}}$ por $\frac{\sqrt{5402}}{\sqrt{5402}}$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{5402}}{\sqrt{5402} \sqrt{5402}})$

Paso 6.3.2

Eleva $\sqrt{5402}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{5402}}{{\sqrt{5402}}^{1} \sqrt{5402}})$

Paso 6.3.3

Eleva $\sqrt{5402}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{5402}}{{\sqrt{5402}}^{1} {\sqrt{5402}}^{1}})$

Paso 6.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{5402}}{{\sqrt{5402}}^{1 + 1}})$

Paso 6.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{5402}}{{\sqrt{5402}}^{2}})$

Paso 6.3.6

Reescribe ${\sqrt{5402}}^{2}$ como $5402$ .

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Paso 6.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5402}$ como $5402^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{5402}}{{(5402^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Paso 6.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{5402}}{5402^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Paso 6.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{5402}}{5402^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{5402}}{5402^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{5402}}{5402^{1}})$

Paso 6.3.6.5

Evalúa el exponente.

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{5402}}{5402})$

Paso 6.4

Evalúa $\arccos (\frac{41 \sqrt{5402}}{5402})$ .

$θ = 56.09372301$