Preálgebra Ejemplos

$(4, 3)$ , $(- 1, 6)$

Paso 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Paso 2

Find the dot product.

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Paso 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 4 \cdot - 1 + 3 \cdot 6$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 4 + 3 \cdot 6$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $3$ por $6$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 4 + 18$

Paso 2.2.2

Suma $- 4$ y $18$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 14$

Paso 3

Obtén la magnitud de $a⃗$ .

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Paso 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{4^{2} + 3^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{16 + 3^{2}}$

Paso 3.2.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{16 + 9}$

Paso 3.2.3

Suma $16$ y $9$ .

$| a⃗ | = \sqrt{25}$

Paso 3.2.4

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{5^{2}}$

Paso 3.2.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$| a⃗ | = 5$

Paso 4

Obtén la magnitud de $b⃗$ .

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Paso 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 6^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 6^{2}}$

Paso 4.2.2

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 36}$

Paso 4.2.3

Suma $1$ y $36$ .

$| b⃗ | = \sqrt{37}$

Paso 5

Sustituye los valores en la fórmula.

$θ = \arccos (\frac{14}{5 \sqrt{37}})$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica $\frac{14}{5 \sqrt{37}}$ por $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ .

$θ = \arccos (\frac{14}{5 \sqrt{37}} \cdot \frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}})$

Paso 6.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 6.2.1

Multiplica $\frac{14}{5 \sqrt{37}}$ por $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 \sqrt{37} \sqrt{37}})$

Paso 6.2.2

Mueve $\sqrt{37}$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 (\sqrt{37} \sqrt{37})})$

Paso 6.2.3

Eleva $\sqrt{37}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 ({\sqrt{37}}^{1} \sqrt{37})})$

Paso 6.2.4

Eleva $\sqrt{37}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 ({\sqrt{37}}^{1} {\sqrt{37}}^{1})})$

Paso 6.2.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 {\sqrt{37}}^{1 + 1}})$

Paso 6.2.6

Suma $1$ y $1$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 {\sqrt{37}}^{2}})$

Paso 6.2.7

Reescribe ${\sqrt{37}}^{2}$ como $37$ .

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Paso 6.2.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{37}$ como $37^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 {(37^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Paso 6.2.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 \cdot 37^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Paso 6.2.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 \cdot 37^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.2.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.7.4.1

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 \cdot 37^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.2.7.4.2

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 \cdot 37^{1}})$

Paso 6.2.7.5

Evalúa el exponente.

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 \cdot 37})$

Paso 6.3

Multiplica $5$ por $37$ .

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{185})$

Paso 6.4

Evalúa $\arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{185})$ .

$θ = 62.59242456$