Preálgebra Ejemplos

$(- 3, - 3)$ , $(- 1, 2)$

Paso 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Paso 2

Find the dot product.

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Paso 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 3 \cdot - 1 - 3 \cdot 2$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 3 - 3 \cdot 2$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 3 - 6$

Paso 2.2.2

Resta $6$ de $3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 3$

Paso 3

Obtén la magnitud de $a⃗$ .

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Paso 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + {(- 3)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 9}$

Paso 3.2.3

Suma $9$ y $9$ .

$| a⃗ | = \sqrt{18}$

Paso 3.2.4

Reescribe $18$ como $3^{2} \cdot 2$ .

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Paso 3.2.4.1

Factoriza $9$ de $18$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 (2)}$

Paso 3.2.4.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

Paso 3.2.5

Retira los términos de abajo del radical.

$| a⃗ | = 3 \sqrt{2}$

Paso 4

Obtén la magnitud de $b⃗$ .

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Paso 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 2^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 2^{2}}$

Paso 4.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 4}$

Paso 4.2.3

Suma $1$ y $4$ .

$| b⃗ | = \sqrt{5}$

Paso 5

Sustituye los valores en la fórmula.

$θ = \arccos (\frac{- 3}{3 \sqrt{2} \sqrt{5}})$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $- 3$ y $3$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot - 1}{3 \sqrt{2} \sqrt{5}})$

Paso 6.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1.2.1

Factoriza $3$ de $3 \sqrt{2} \sqrt{5}$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot - 1}{3 (\sqrt{2} \sqrt{5})})$

Paso 6.1.2.2

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot - 1}{3 (\sqrt{2} \sqrt{5})})$

Paso 6.1.2.3

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{2} \sqrt{5}})$

Paso 6.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{2 \cdot 5}})$

Paso 6.2.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{10}})$

Paso 6.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$θ = \arccos (- \frac{1}{\sqrt{10}})$

Paso 6.4

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{10}}$ por $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}))$

Paso 6.5

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 6.5.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{10}}$ por $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}})$

Paso 6.5.2

Eleva $\sqrt{10}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}})$

Paso 6.5.3

Eleva $\sqrt{10}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}})$

Paso 6.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}})$

Paso 6.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}})$

Paso 6.5.6

Reescribe ${\sqrt{10}}^{2}$ como $10$ .

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Paso 6.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{10}$ como $10^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Paso 6.5.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Paso 6.5.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.5.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.5.6.4.1

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.5.6.4.2

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{10^{1}})$

Paso 6.5.6.5

Evalúa el exponente.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{10}}{10})$

Paso 6.6

Evalúa $\arccos (- \frac{\sqrt{10}}{10})$ .

$θ = 108.43494882$