Preálgebra Ejemplos

$(10, 7)$ , $(- 2, 1)$

Paso 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Paso 2

Find the dot product.

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Paso 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 10 \cdot - 2 + 7 \cdot 1$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $10$ por $- 2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 20 + 7 \cdot 1$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $7$ por $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 20 + 7$

Paso 2.2.2

Suma $- 20$ y $7$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 13$

Paso 3

Obtén la magnitud de $a⃗$ .

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Paso 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{10^{2} + 7^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{100 + 7^{2}}$

Paso 3.2.2

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{100 + 49}$

Paso 3.2.3

Suma $100$ y $49$ .

$| a⃗ | = \sqrt{149}$

Paso 4

Obtén la magnitud de $b⃗$ .

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Paso 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 1^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1^{2}}$

Paso 4.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1}$

Paso 4.2.3

Suma $4$ y $1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{5}$

Paso 5

Sustituye los valores en la fórmula.

$θ = \arccos (\frac{- 13}{\sqrt{149} \sqrt{5}})$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica el denominador.

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Paso 6.1.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$θ = \arccos (\frac{- 13}{\sqrt{149 \cdot 5}})$

Paso 6.1.2

Multiplica $149$ por $5$ .

$θ = \arccos (\frac{- 13}{\sqrt{745}})$

Paso 6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$θ = \arccos (- \frac{13}{\sqrt{745}})$

Paso 6.3

Multiplica $\frac{13}{\sqrt{745}}$ por $\frac{\sqrt{745}}{\sqrt{745}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{13}{\sqrt{745}} \cdot \frac{\sqrt{745}}{\sqrt{745}}))$

Paso 6.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 6.4.1

Multiplica $\frac{13}{\sqrt{745}}$ por $\frac{\sqrt{745}}{\sqrt{745}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{13 \sqrt{745}}{\sqrt{745} \sqrt{745}})$

Paso 6.4.2

Eleva $\sqrt{745}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{13 \sqrt{745}}{{\sqrt{745}}^{1} \sqrt{745}})$

Paso 6.4.3

Eleva $\sqrt{745}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{13 \sqrt{745}}{{\sqrt{745}}^{1} {\sqrt{745}}^{1}})$

Paso 6.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$θ = \arccos (- \frac{13 \sqrt{745}}{{\sqrt{745}}^{1 + 1}})$

Paso 6.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{13 \sqrt{745}}{{\sqrt{745}}^{2}})$

Paso 6.4.6

Reescribe ${\sqrt{745}}^{2}$ como $745$ .

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Paso 6.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{745}$ como $745^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{13 \sqrt{745}}{{(745^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Paso 6.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{13 \sqrt{745}}{745^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Paso 6.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{13 \sqrt{745}}{745^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (- \frac{13 \sqrt{745}}{745^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (- \frac{13 \sqrt{745}}{745^{1}})$

Paso 6.4.6.5

Evalúa el exponente.

$θ = \arccos (- \frac{13 \sqrt{745}}{745})$

Paso 6.5

Evalúa $\arccos (- \frac{13 \sqrt{745}}{745})$ .

$θ = 118.44292862$