Preálgebra Ejemplos

$(1, 9)$ , $(- 3, 9)$

Paso 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Paso 2

Find the dot product.

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Paso 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot - 3 + 9 \cdot 9$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 3 + 9 \cdot 9$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $9$ por $9$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 3 + 81$

Paso 2.2.2

Suma $- 3$ y $81$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 78$

Paso 3

Obtén la magnitud de $a⃗$ .

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Paso 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + 9^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 9^{2}}$

Paso 3.2.2

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 81}$

Paso 3.2.3

Suma $1$ y $81$ .

$| a⃗ | = \sqrt{82}$

Paso 4

Obtén la magnitud de $b⃗$ .

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Paso 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 3)}^{2} + 9^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 + 9^{2}}$

Paso 4.2.2

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 + 81}$

Paso 4.2.3

Suma $9$ y $81$ .

$| b⃗ | = \sqrt{90}$

Paso 4.2.4

Reescribe $90$ como $3^{2} \cdot 10$ .

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Paso 4.2.4.1

Factoriza $9$ de $90$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 (10)}$

Paso 4.2.4.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 10}$

Paso 4.2.5

Retira los términos de abajo del radical.

$| b⃗ | = 3 \sqrt{10}$

Paso 5

Sustituye los valores en la fórmula.

$θ = \arccos (\frac{78}{\sqrt{82} (3 \sqrt{10})})$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $78$ y $3$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $3$ de $78$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 26}{\sqrt{82} (3 \sqrt{10})})$

Paso 6.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1.2.1

Factoriza $3$ de $\sqrt{82} (3 \sqrt{10})$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 26}{3 (\sqrt{82} (\sqrt{10}))})$

Paso 6.1.2.2

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 26}{3 (\sqrt{82} (\sqrt{10}))})$

Paso 6.1.2.3

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (\frac{26}{\sqrt{82} (\sqrt{10})})$

Paso 6.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$θ = \arccos (\frac{26}{\sqrt{82 \cdot 10}})$

Paso 6.2.2

Multiplica $82$ por $10$ .

$θ = \arccos (\frac{26}{\sqrt{820}})$

Paso 6.3

Simplifica el denominador.

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Paso 6.3.1

Reescribe $820$ como $2^{2} \cdot 205$ .

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Paso 6.3.1.1

Factoriza $4$ de $820$ .

$θ = \arccos (\frac{26}{\sqrt{4 (205)}})$

Paso 6.3.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$θ = \arccos (\frac{26}{\sqrt{2^{2} \cdot 205}})$

Paso 6.3.2

Retira los términos de abajo del radical.

$θ = \arccos (\frac{26}{2 \sqrt{205}})$

Paso 6.4

Cancela el factor común de $26$ y $2$ .

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Paso 6.4.1

Factoriza $2$ de $26$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 13}{2 \sqrt{205}})$

Paso 6.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.4.2.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{205}$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 13}{2 (\sqrt{205})})$

Paso 6.4.2.2

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 13}{2 \sqrt{205}})$

Paso 6.4.2.3

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (\frac{13}{\sqrt{205}})$

Paso 6.5

Multiplica $\frac{13}{\sqrt{205}}$ por $\frac{\sqrt{205}}{\sqrt{205}}$ .

$θ = \arccos (\frac{13}{\sqrt{205}} \cdot \frac{\sqrt{205}}{\sqrt{205}})$

Paso 6.6

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 6.6.1

Multiplica $\frac{13}{\sqrt{205}}$ por $\frac{\sqrt{205}}{\sqrt{205}}$ .

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{205}}{\sqrt{205} \sqrt{205}})$

Paso 6.6.2

Eleva $\sqrt{205}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{205}}{{\sqrt{205}}^{1} \sqrt{205}})$

Paso 6.6.3

Eleva $\sqrt{205}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{205}}{{\sqrt{205}}^{1} {\sqrt{205}}^{1}})$

Paso 6.6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{205}}{{\sqrt{205}}^{1 + 1}})$

Paso 6.6.5

Suma $1$ y $1$ .

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{205}}{{\sqrt{205}}^{2}})$

Paso 6.6.6

Reescribe ${\sqrt{205}}^{2}$ como $205$ .

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Paso 6.6.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{205}$ como $205^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{205}}{{(205^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Paso 6.6.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{205}}{205^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Paso 6.6.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{205}}{205^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.6.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.6.6.4.1

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{205}}{205^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.6.6.4.2

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{205}}{205^{1}})$

Paso 6.6.6.5

Evalúa el exponente.

$θ = \arccos (\frac{13 \sqrt{205}}{205})$

Paso 6.7

Evalúa $\arccos (\frac{13 \sqrt{205}}{205})$ .

$θ = 24.77514056$