Preálgebra Ejemplos

$(- 1, 1)$ , $(0, - 1)$

Paso 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Paso 2

Find the dot product.

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Paso 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 0 + 1 \cdot - 1$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 + 1 \cdot - 1$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 - 1$

Paso 2.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 1$

Paso 3

Obtén la magnitud de $a⃗$ .

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Paso 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 1^{2}}$

Paso 3.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 1}$

Paso 3.2.3

Suma $1$ y $1$ .

$| a⃗ | = \sqrt{2}$

Paso 4

Obtén la magnitud de $b⃗$ .

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Paso 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{0^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$| b⃗ | = \sqrt{0 + {(- 1)}^{2}}$

Paso 4.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 1}$

Paso 4.2.3

Suma $0$ y $1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{1}$

Paso 4.2.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$| b⃗ | = 1$

Paso 5

Sustituye los valores en la fórmula.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{2} \cdot 1})$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $- 1$ y $1$ .

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Paso 6.1.1

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$θ = \arccos (\frac{- 1 (1)}{\sqrt{2} \cdot 1})$

Paso 6.1.2

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (\frac{- 1 \cdot 1}{\sqrt{2} \cdot 1})$

Paso 6.1.3

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{2}})$

Paso 6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$θ = \arccos (- \frac{1}{\sqrt{2}})$

Paso 6.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))$

Paso 6.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 6.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})$

Paso 6.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})$

Paso 6.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})$

Paso 6.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})$

Paso 6.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})$

Paso 6.4.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 6.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Paso 6.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Paso 6.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2^{1}})$

Paso 6.4.6.5

Evalúa el exponente.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 6.5

El valor exacto de $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ es $135$ .

$θ = 135$