Preálgebra Ejemplos

$(\frac{1}{5}, 3)$ , $(\frac{1}{5}, 0)$

Paso 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Paso 2

Find the dot product.

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Paso 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} + 3 \cdot 0$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{5}$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{1}{5 \cdot 5} + 3 \cdot 0$

Paso 2.2.1.1.2

Multiplica $5$ por $5$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{1}{25} + 3 \cdot 0$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{1}{25} + 0$

Paso 2.2.2

Suma $\frac{1}{25}$ y $0$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{1}{25}$

Paso 3

Obtén la magnitud de $a⃗$ .

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Paso 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} + 3^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{5}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1^{2}}{5^{2}} + 3^{2}}$

Paso 3.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1}{5^{2}} + 3^{2}}$

Paso 3.2.3

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + 3^{2}}$

Paso 3.2.4

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + 9}$

Paso 3.2.5

Para escribir $9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{25}{25}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + 9 \cdot \frac{25}{25}}$

Paso 3.2.6

Combina $9$ y $\frac{25}{25}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + \frac{9 \cdot 25}{25}}$

Paso 3.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1 + 9 \cdot 25}{25}}$

Paso 3.2.8

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.8.1

Multiplica $9$ por $25$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1 + 225}{25}}$

Paso 3.2.8.2

Suma $1$ y $225$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{226}{25}}$

Paso 3.2.9

Reescribe $\sqrt{\frac{226}{25}}$ como $\frac{\sqrt{226}}{\sqrt{25}}$ .

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{226}}{\sqrt{25}}$

Paso 3.2.10

Simplifica el denominador.

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Paso 3.2.10.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{226}}{\sqrt{5^{2}}}$

Paso 3.2.10.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{226}}{5}$

Paso 4

Obtén la magnitud de $b⃗$ .

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Paso 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} + 0^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{5}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{\frac{1^{2}}{5^{2}} + 0^{2}}$

Paso 4.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$| b⃗ | = \sqrt{\frac{1}{5^{2}} + 0^{2}}$

Paso 4.2.3

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + 0^{2}}$

Paso 4.2.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$| b⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + 0}$

Paso 4.2.5

Suma $\frac{1}{25}$ y $0$ .

$| b⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25}}$

Paso 4.2.6

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{25}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}$ .

$| b⃗ | = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}$

Paso 4.2.7

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$| b⃗ | = \frac{1}{\sqrt{25}}$

Paso 4.2.8

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.8.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$| b⃗ | = \frac{1}{\sqrt{5^{2}}}$

Paso 4.2.8.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$| b⃗ | = \frac{1}{5}$

Paso 5

Sustituye los valores en la fórmula.

$θ = \arccos (\frac{\frac{1}{25}}{\frac{\sqrt{226}}{5} \cdot \frac{1}{5}})$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$θ = \arccos (\frac{1}{25} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{226}}{5} \cdot \frac{1}{5}})$

Paso 6.2

Multiplica $\frac{\sqrt{226}}{5}$ por $\frac{1}{5}$ .

$θ = \arccos (\frac{1}{25} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{226}}{5 \cdot 5}})$

Paso 6.3

Multiplica $5$ por $5$ .

$θ = \arccos (\frac{1}{25} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{226}}{25}})$

Paso 6.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$θ = \arccos (\frac{1}{25} (1 \frac{25}{\sqrt{226}}))$

Paso 6.5

Multiplica $\frac{25}{\sqrt{226}}$ por $1$ .

$θ = \arccos (\frac{1}{25} \cdot \frac{25}{\sqrt{226}})$

Paso 6.6

Cancela el factor común de $25$ .

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Paso 6.6.1

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (\frac{1}{25} \cdot \frac{25}{\sqrt{226}})$

Paso 6.6.2

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (\frac{1}{\sqrt{226}})$

Paso 6.7

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{226}}$ por $\frac{\sqrt{226}}{\sqrt{226}}$ .

$θ = \arccos (\frac{1}{\sqrt{226}} \cdot \frac{\sqrt{226}}{\sqrt{226}})$

Paso 6.8

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 6.8.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{226}}$ por $\frac{\sqrt{226}}{\sqrt{226}}$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{\sqrt{226} \sqrt{226}})$

Paso 6.8.2

Eleva $\sqrt{226}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{{\sqrt{226}}^{1} \sqrt{226}})$

Paso 6.8.3

Eleva $\sqrt{226}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{{\sqrt{226}}^{1} {\sqrt{226}}^{1}})$

Paso 6.8.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{{\sqrt{226}}^{1 + 1}})$

Paso 6.8.5

Suma $1$ y $1$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{{\sqrt{226}}^{2}})$

Paso 6.8.6

Reescribe ${\sqrt{226}}^{2}$ como $226$ .

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Paso 6.8.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{226}$ como $226^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{{(226^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Paso 6.8.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{226^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Paso 6.8.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{226^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.8.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.8.6.4.1

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{226^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.8.6.4.2

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{226^{1}})$

Paso 6.8.6.5

Evalúa el exponente.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{226})$

Paso 6.9

Evalúa $\arccos (\frac{\sqrt{226}}{226})$ .

$θ = 86.18592516$