Preálgebra Ejemplos

${(a - b)}^{3}$ , $a^{3} - b^{3}$ , $a^{2} - b^{2}$

Paso 1

Reagrupa los términos.

${(a - b)}^{3} + a^{3} - b^{3} + a^{2} - b^{2}$

Paso 2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = a$ y $b = b$ .

${(a - b)}^{3} + (a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) + a^{2} - b^{2}$

Paso 3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = a$ y $b = b$ .

${(a - b)}^{3} + (a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) + (a + b) (a - b)$

Paso 4

Factoriza $a - b$ de $(a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) + (a + b) (a - b)$ .

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Paso 4.1

Factoriza $a - b$ de $(a + b) (a - b)$ .

${(a - b)}^{3} + (a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) + (a - b) (a + b)$

Paso 4.2

Factoriza $a - b$ de $(a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) + (a - b) (a + b)$ .

${(a - b)}^{3} + (a - b) (a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Paso 5

Factoriza $a - b$ de ${(a - b)}^{3} + (a - b) (a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$ .

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Paso 5.1

Factoriza $a - b$ de ${(a - b)}^{3}$ .

$(a - b) {(a - b)}^{2} + (a - b) (a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Paso 5.2

Factoriza $a - b$ de $(a - b) {(a - b)}^{2} + (a - b) (a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$ .

$(a - b) ({(a - b)}^{2} + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Paso 6

Reescribe ${(a - b)}^{2}$ como $(a - b) (a - b)$ .

$(a - b) ((a - b) (a - b) + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Paso 7

Expande $(a - b) (a - b)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(a - b) (a (a - b) - b (a - b) + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(a - b) (a \cdot a + a (- b) - b (a - b) + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Paso 7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(a - b) (a \cdot a + a (- b) - b a - b (- b) + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Paso 8

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 8.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.1.1

Multiplica $a$ por $a$ .

$(a - b) (a^{2} + a (- b) - b a - b (- b) + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Paso 8.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(a - b) (a^{2} - a b - b a - b (- b) + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Paso 8.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(a - b) (a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 b \cdot b + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Paso 8.1.4

Multiplica $b$ por $b$ sumando los exponentes.

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Paso 8.1.4.1

Mueve $b$ .

$(a - b) (a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 (b \cdot b) + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Paso 8.1.4.2

Multiplica $b$ por $b$ .

$(a - b) (a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 b^{2} + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Paso 8.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$(a - b) (a^{2} - a b - b a + 1 b^{2} + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Paso 8.1.6

Multiplica $b^{2}$ por $1$ .

$(a - b) (a^{2} - a b - b a + b^{2} + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Paso 8.2

Resta $b a$ de $- a b$ .

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Paso 8.2.1

Mueve $b$ .

$(a - b) (a^{2} - a b - 1 a b + b^{2} + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Paso 8.2.2

Resta $a b$ de $- a b$ .

$(a - b) (a^{2} - 2 a b + b^{2} + a^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Paso 9

Suma $a^{2}$ y $a^{2}$ .

$(a - b) (2 a^{2} - 2 a b + b^{2} + a b + b^{2} + a + b)$

Paso 10

Suma $- 2 a b$ y $a b$ .

$(a - b) (2 a^{2} + b^{2} - a b + b^{2} + a + b)$

Paso 11

Suma $b^{2}$ y $b^{2}$ .

$(a - b) (2 a^{2} + 2 b^{2} - a b + a + b)$