Preálgebra Ejemplos

$12 (x + 5) = {(y - 8)}^{2}$

Paso 1

Divide cada término en $12 (x + 5) = {(y - 8)}^{2}$ por $12$ y simplifica.

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Paso 1.1

Divide cada término en $12 (x + 5) = {(y - 8)}^{2}$ por $12$ .

$\frac{12 (x + 5)}{12} = \frac{{(y - 8)}^{2}}{12}$

Paso 1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{12 (x + 5)}{12} = \frac{{(y - 8)}^{2}}{12}$

Paso 1.2.1.2

Divide $x + 5$ por $1$ .

$x + 5 = \frac{{(y - 8)}^{2}}{12}$

Paso 2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = \frac{{(y - 8)}^{2}}{12} - 5$

Paso 3

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 3.1.1

Reordena los términos.

$x = \frac{1}{12} \cdot {(y - 8)}^{2} - 5$

Paso 3.1.2

Completa el cuadrado de $\frac{1}{12} \cdot {(y - 8)}^{2} - 5$ .

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Paso 3.1.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1.1

Reescribe ${(y - 8)}^{2}$ como $(y - 8) (y - 8)$ .

$\frac{1}{12} \cdot ((y - 8) (y - 8)) - 5$

Paso 3.1.2.1.1.2

Expande $(y - 8) (y - 8)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1.2.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{12} \cdot (y (y - 8) - 8 (y - 8)) - 5$

Paso 3.1.2.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{12} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 8 - 8 (y - 8)) - 5$

Paso 3.1.2.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{12} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 8 - 8 y - 8 \cdot - 8) - 5$

Paso 3.1.2.1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1.2.1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1.3.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{1}{12} \cdot (y^{2} + y \cdot - 8 - 8 y - 8 \cdot - 8) - 5$

Paso 3.1.2.1.1.3.1.2

Mueve $- 8$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{1}{12} \cdot (y^{2} - 8 \cdot y - 8 y - 8 \cdot - 8) - 5$

Paso 3.1.2.1.1.3.1.3

Multiplica $- 8$ por $- 8$ .

$\frac{1}{12} \cdot (y^{2} - 8 y - 8 y + 64) - 5$

Paso 3.1.2.1.1.3.2

Resta $8 y$ de $- 8 y$ .

$\frac{1}{12} \cdot (y^{2} - 16 y + 64) - 5$

Paso 3.1.2.1.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{12} y^{2} + \frac{1}{12} (- 16 y) + \frac{1}{12} \cdot 64 - 5$

Paso 3.1.2.1.1.5

Simplifica.

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Paso 3.1.2.1.1.5.1

Combina $\frac{1}{12}$ y $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{12} + \frac{1}{12} (- 16 y) + \frac{1}{12} \cdot 64 - 5$

Paso 3.1.2.1.1.5.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.1.2.1.1.5.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{y^{2}}{12} + \frac{1}{4 (3)} (- 16 y) + \frac{1}{12} \cdot 64 - 5$

Paso 3.1.2.1.1.5.2.2

Factoriza $4$ de $- 16 y$ .

$\frac{y^{2}}{12} + \frac{1}{4 (3)} (4 (- 4 y)) + \frac{1}{12} \cdot 64 - 5$

Paso 3.1.2.1.1.5.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2}}{12} + \frac{1}{4 \cdot 3} (4 (- 4 y)) + \frac{1}{12} \cdot 64 - 5$

Paso 3.1.2.1.1.5.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{2}}{12} + \frac{1}{3} (- 4 y) + \frac{1}{12} \cdot 64 - 5$

Paso 3.1.2.1.1.5.3

Combina $- 4$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{y^{2}}{12} + \frac{- 4}{3} y + \frac{1}{12} \cdot 64 - 5$

Paso 3.1.2.1.1.5.4

Combina $\frac{- 4}{3}$ y $y$ .

$\frac{y^{2}}{12} + \frac{- 4 y}{3} + \frac{1}{12} \cdot 64 - 5$

Paso 3.1.2.1.1.5.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.1.2.1.1.5.5.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{y^{2}}{12} + \frac{- 4 y}{3} + \frac{1}{4 (3)} \cdot 64 - 5$

Paso 3.1.2.1.1.5.5.2

Factoriza $4$ de $64$ .

$\frac{y^{2}}{12} + \frac{- 4 y}{3} + \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 16) - 5$

Paso 3.1.2.1.1.5.5.3

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2}}{12} + \frac{- 4 y}{3} + \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 16) - 5$

Paso 3.1.2.1.1.5.5.4

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{2}}{12} + \frac{- 4 y}{3} + \frac{1}{3} \cdot 16 - 5$

Paso 3.1.2.1.1.5.6

Combina $\frac{1}{3}$ y $16$ .

$\frac{y^{2}}{12} + \frac{- 4 y}{3} + \frac{16}{3} - 5$

Paso 3.1.2.1.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{y^{2}}{12} - \frac{4 y}{3} + \frac{16}{3} - 5$

Paso 3.1.2.1.2

Para escribir $- 5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{y^{2}}{12} - \frac{4 y}{3} + \frac{16}{3} - 5 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 3.1.2.1.3

Combina $- 5$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{y^{2}}{12} - \frac{4 y}{3} + \frac{16}{3} + \frac{- 5 \cdot 3}{3}$

Paso 3.1.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{y^{2}}{12} - \frac{4 y}{3} + \frac{16 - 5 \cdot 3}{3}$

Paso 3.1.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.2.1.5.1

Multiplica $- 5$ por $3$ .

$\frac{y^{2}}{12} - \frac{4 y}{3} + \frac{16 - 15}{3}$

Paso 3.1.2.1.5.2

Resta $15$ de $16$ .

$\frac{y^{2}}{12} - \frac{4 y}{3} + \frac{1}{3}$

Paso 3.1.2.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = \frac{1}{12}$

$b = - \frac{4}{3}$

$c = \frac{1}{3}$

Paso 3.1.2.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 3.1.2.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 3.1.2.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{4}{3}}{2 (\frac{1}{12})}$

Paso 3.1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.2.4.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{12})}$

Paso 3.1.2.4.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.2.4.2.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{4}{3}$ al numerador.

$d = \frac{- 4}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{12})}$

Paso 3.1.2.4.2.2.2

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$d = \frac{2 (- 2)}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{12})}$

Paso 3.1.2.4.2.2.3

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{12})}$

Paso 3.1.2.4.2.2.4

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{12}}$

Paso 3.1.2.4.2.3

Multiplica $\frac{- 2}{3}$ por $\frac{1}{\frac{1}{12}}$ .

$d = \frac{- 2}{3 (\frac{1}{12})}$

Paso 3.1.2.4.2.4

Combina $3$ y $\frac{1}{12}$ .

$d = \frac{- 2}{\frac{3}{12}}$

Paso 3.1.2.4.2.5

Cancela el factor común de $3$ y $12$ .

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Paso 3.1.2.4.2.5.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$d = \frac{- 2}{\frac{3 (1)}{12}}$

Paso 3.1.2.4.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.2.4.2.5.2.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$d = \frac{- 2}{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4}}$

Paso 3.1.2.4.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{- 2}{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4}}$

Paso 3.1.2.4.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 2}{\frac{1}{4}}$

Paso 3.1.2.4.2.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = - 2 \cdot 4$

Paso 3.1.2.4.2.7

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$d = - 8$

Paso 3.1.2.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 3.1.2.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{{(- \frac{4}{3})}^{2}}{4 (\frac{1}{12})}$

Paso 3.1.2.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.2.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.5.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.2.5.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{4}{3}$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{4}{3})}^{2}}{4 (\frac{1}{12})}$

Paso 3.1.2.5.2.1.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{1 {(\frac{4}{3})}^{2}}{4 (\frac{1}{12})}$

Paso 3.1.2.5.2.1.1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{4}{3}$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{1 \frac{4^{2}}{3^{2}}}{4 (\frac{1}{12})}$

Paso 3.1.2.5.2.1.1.4

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{1 \frac{16}{3^{2}}}{4 (\frac{1}{12})}$

Paso 3.1.2.5.2.1.1.5

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{1 (\frac{16}{9})}{4 (\frac{1}{12})}$

Paso 3.1.2.5.2.1.1.6

Multiplica $\frac{16}{9}$ por $1$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{16}{9}}{4 (\frac{1}{12})}$

Paso 3.1.2.5.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{1}{12}$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{16}{9}}{\frac{4}{12}}$

Paso 3.1.2.5.2.1.3

Cancela el factor común de $4$ y $12$ .

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Paso 3.1.2.5.2.1.3.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{16}{9}}{\frac{4 (1)}{12}}$

Paso 3.1.2.5.2.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.2.5.2.1.3.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{16}{9}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Paso 3.1.2.5.2.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{16}{9}}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Paso 3.1.2.5.2.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{16}{9}}{\frac{1}{3}}$

Paso 3.1.2.5.2.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = \frac{1}{3} - (\frac{16}{9} \cdot 3)$

Paso 3.1.2.5.2.1.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.1.2.5.2.1.5.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$e = \frac{1}{3} - (\frac{16}{3 (3)} \cdot 3)$

Paso 3.1.2.5.2.1.5.2

Cancela el factor común.

$e = \frac{1}{3} - (\frac{16}{3 \cdot 3} \cdot 3)$

Paso 3.1.2.5.2.1.5.3

Reescribe la expresión.

$e = \frac{1}{3} - \frac{16}{3}$

Paso 3.1.2.5.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{1 - 16}{3}$

Paso 3.1.2.5.2.3

Resta $16$ de $1$ .

$e = \frac{- 15}{3}$

Paso 3.1.2.5.2.4

Divide $- 15$ por $3$ .

$e = - 5$

Paso 3.1.2.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $\frac{1}{12} {(y - 8)}^{2} - 5$ .

$\frac{1}{12} {(y - 8)}^{2} - 5$

Paso 3.1.3

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = \frac{1}{12} \cdot {(y - 8)}^{2} - 5$

Paso 3.2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{1}{12}$

$h = - 5$

$k = 8$

Paso 3.3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia la derecha.

Abre a la derecha

Paso 3.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 5, 8)$

Paso 3.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 3.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 3.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{12}}$

Paso 3.5.3

Simplifica.

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Paso 3.5.3.1

Combina $4$ y $\frac{1}{12}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{12}}$

Paso 3.5.3.2

Cancela el factor común de $4$ y $12$ .

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Paso 3.5.3.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{1}{\frac{4 (1)}{12}}$

Paso 3.5.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.3.2.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Paso 3.5.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Paso 3.5.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\frac{1}{3}}$

Paso 3.5.3.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$1 \cdot 3$

Paso 3.5.3.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 3.6

Obtén el foco.

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Paso 3.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada x $h$ si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$(h + p, k)$

Paso 3.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 2, 8)$

Paso 3.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$y = 8$

Paso 3.8

Obtén la directriz.

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Paso 3.8.1

La directriz de una parábola es la recta vertical que se obtiene al restar $p$ de la coordenada x $h$ del vértice si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$x = h - p$

Paso 3.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $h$ en la fórmula y simplifica.

$x = - 8$

Paso 3.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(- 5, 8)$

Foco: $(- 2, 8)$

Eje de simetría: $y = 8$

Directriz: $x = - 8$

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(- 5, 8)$

Foco: $(- 2, 8)$

Eje de simetría: $y = 8$

Directriz: $x = - 8$

Paso 4

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 4.1

Sustituye el valor $x$ $- 4$ en $f (x) = 2 \sqrt{3 (x + 5)} + 8$ . En este caso, el punto es $(- 4, 11.46410161)$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f (- 4) = 2 \sqrt{3 ((- 4) + 5)} + 8$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Suma $- 4$ y $5$ .

$f (- 4) = 2 \sqrt{3 \cdot 1} + 8$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$f (- 4) = 2 \sqrt{3} + 8$

Paso 4.1.2.2

La respuesta final es $2 \sqrt{3} + 8$ .

$y = 2 \sqrt{3} + 8$

Paso 4.1.3

Convierte $2 \sqrt{3} + 8$ a decimal.

$= 11.46410161$

Paso 4.2

Sustituye el valor $x$ $- 4$ en $f (x) = - 2 \sqrt{3 (x + 5)} + 8$ . En este caso, el punto es $(- 4, 4.53589838)$ .

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Paso 4.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f (- 4) = - 2 \sqrt{3 ((- 4) + 5)} + 8$

Paso 4.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Suma $- 4$ y $5$ .

$f (- 4) = - 2 \sqrt{3 \cdot 1} + 8$

Paso 4.2.2.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$f (- 4) = - 2 \sqrt{3} + 8$

Paso 4.2.2.2

La respuesta final es $- 2 \sqrt{3} + 8$ .

$y = - 2 \sqrt{3} + 8$

Paso 4.2.3

Convierte $- 2 \sqrt{3} + 8$ a decimal.

$= 4.53589838$

Paso 4.3

Sustituye el valor $x$ $- 3$ en $f (x) = 2 \sqrt{3 (x + 5)} + 8$ . En este caso, el punto es $(- 3, 12.89897948)$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f (- 3) = 2 \sqrt{3 ((- 3) + 5)} + 8$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1.1

Suma $- 3$ y $5$ .

$f (- 3) = 2 \sqrt{3 \cdot 2} + 8$

Paso 4.3.2.1.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$f (- 3) = 2 \sqrt{6} + 8$

Paso 4.3.2.2

La respuesta final es $2 \sqrt{6} + 8$ .

$y = 2 \sqrt{6} + 8$

Paso 4.3.3

Convierte $2 \sqrt{6} + 8$ a decimal.

$= 12.89897948$

Paso 4.4

Sustituye el valor $x$ $- 3$ en $f (x) = - 2 \sqrt{3 (x + 5)} + 8$ . En este caso, el punto es $(- 3, 3.10102051)$ .

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Paso 4.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f (- 3) = - 2 \sqrt{3 ((- 3) + 5)} + 8$

Paso 4.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.4.2.1.1

Suma $- 3$ y $5$ .

$f (- 3) = - 2 \sqrt{3 \cdot 2} + 8$

Paso 4.4.2.1.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$f (- 3) = - 2 \sqrt{6} + 8$

Paso 4.4.2.2

La respuesta final es $- 2 \sqrt{6} + 8$ .

$y = - 2 \sqrt{6} + 8$

Paso 4.4.3

Convierte $- 2 \sqrt{6} + 8$ a decimal.

$= 3.10102051$

Paso 4.5

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & 8 \\ - 4 & 11.46 \\ - 4 & 4.54 \\ - 3 & 12.9 \\ - 3 & 3.1 \end{array}$

Paso 5

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(- 5, 8)$

Foco: $(- 2, 8)$

Eje de simetría: $y = 8$

Directriz: $x = - 8$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & 8 \\ - 4 & 11.46 \\ - 4 & 4.54 \\ - 3 & 12.9 \\ - 3 & 3.1 \end{array}$

Paso 6