Preálgebra Ejemplos

$\frac{2}{z - 5} = \frac{2}{0.5 z^{2} + 7}$

Paso 1

Simplifica ambos lados.

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Paso 1.1

Factoriza $0.5$ de $0.5 z^{2} + 7$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $0.5$ de $0.5 z^{2}$ .

$\frac{2}{z - 5} = \frac{2}{0.5 (z^{2}) + 7}$

Paso 1.1.2

Factoriza $0.5$ de $7$ .

$\frac{2}{z - 5} = \frac{2}{0.5 z^{2} + 0.5 \cdot 14}$

Paso 1.1.3

Factoriza $0.5$ de $0.5 z^{2} + 0.5 \cdot 14$ .

$\frac{2}{z - 5} = \frac{2}{0.5 (z^{2} + 14)}$

Paso 1.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2}{z - 5} = \frac{2 (1)}{0.5 (z^{2} + 14)}$

Paso 1.3

Separa las fracciones.

$\frac{2}{z - 5} = \frac{2}{0.5} \cdot \frac{1}{z^{2} + 14}$

Paso 1.4

Divide $2$ por $0.5$ .

$\frac{2}{z - 5} = 4 \frac{1}{z^{2} + 14}$

Paso 1.5

Combina $4$ y $\frac{1}{z^{2} + 14}$ .

$\frac{2}{z - 5} = \frac{4}{z^{2} + 14}$

Paso 2

Multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción. Establece esto igual al producto del denominador de la primera fracción y al numerador de la segunda fracción.

$2 (z^{2} + 14) = (z - 5) \cdot 4$

Paso 3

Resuelve la ecuación en $z$ .

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Paso 3.1

Simplifica $2 (z^{2} + 14)$ .

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Paso 3.1.1

Reescribe.

$0 + 0 + 2 (z^{2} + 14) = (z - 5) \cdot 4$

Paso 3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$2 (z^{2} + 14) = (z - 5) \cdot 4$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 z^{2} + 2 \cdot 14 = (z - 5) \cdot 4$

Paso 3.1.4

Multiplica $2$ por $14$ .

$2 z^{2} + 28 = (z - 5) \cdot 4$

Paso 3.2

Simplifica $(z - 5) \cdot 4$ .

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Paso 3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 z^{2} + 28 = z \cdot 4 - 5 \cdot 4$

Paso 3.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.2.1

Mueve $4$ a la izquierda de $z$ .

$2 z^{2} + 28 = 4 \cdot z - 5 \cdot 4$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $- 5$ por $4$ .

$2 z^{2} + 28 = 4 z - 20$

Paso 3.3

Resta $4 z$ de ambos lados de la ecuación.

$2 z^{2} + 28 - 4 z = - 20$

Paso 3.4

Suma $20$ a ambos lados de la ecuación.

$2 z^{2} + 28 - 4 z + 20 = 0$

Paso 3.5

Suma $28$ y $20$ .

$2 z^{2} - 4 z + 48 = 0$

Paso 3.6

Factoriza $2$ de $2 z^{2} - 4 z + 48$ .

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Paso 3.6.1

Factoriza $2$ de $2 z^{2}$ .

$2 (z^{2}) - 4 z + 48 = 0$

Paso 3.6.2

Factoriza $2$ de $- 4 z$ .

$2 (z^{2}) + 2 (- 2 z) + 48 = 0$

Paso 3.6.3

Factoriza $2$ de $48$ .

$2 z^{2} + 2 (- 2 z) + 2 \cdot 24 = 0$

Paso 3.6.4

Factoriza $2$ de $2 z^{2} + 2 (- 2 z)$ .

$2 (z^{2} - 2 z) + 2 \cdot 24 = 0$

Paso 3.6.5

Factoriza $2$ de $2 (z^{2} - 2 z) + 2 \cdot 24$ .

$2 (z^{2} - 2 z + 24) = 0$

Paso 3.7

Divide cada término en $2 (z^{2} - 2 z + 24) = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.7.1

Divide cada término en $2 (z^{2} - 2 z + 24) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (z^{2} - 2 z + 24)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 3.7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.7.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (z^{2} - 2 z + 24)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 3.7.2.1.2

Divide $z^{2} - 2 z + 24$ por $1$ .

$z^{2} - 2 z + 24 = \frac{0}{2}$

Paso 3.7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.7.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$z^{2} - 2 z + 24 = 0$

Paso 3.8

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.9

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 2$ y $c = 24$ en la fórmula cuadrática y resuelve $z$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 24)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.10

Simplifica.

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Paso 3.10.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.10.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.10.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 24$ .

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Paso 3.10.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.10.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $24$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 96}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.10.1.3

Resta $96$ de $4$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{- 92}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.10.1.4

Reescribe $- 92$ como $- 1 (92)$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 92}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.10.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (92)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{92}$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{92}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.10.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$z = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{92}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.10.1.7

Reescribe $92$ como $2^{2} \cdot 23$ .

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Paso 3.10.1.7.1

Factoriza $4$ de $92$ .

$z = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (23)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.10.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$z = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.10.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$z = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{23})}{2 \cdot 1}$

Paso 3.10.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$z = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.10.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$z = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{23}}{2}$

Paso 3.10.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{23}}{2}$ .

$z = 1 \pm i \sqrt{23}$

Paso 3.11

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$z = 1 + i \sqrt{23}, 1 - i \sqrt{23}$