Preálgebra Ejemplos

$\sqrt{y + 11} = 2 + \sqrt{y - 2}$

Paso 1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{y + 11}}^{2} = {(2 + \sqrt{y - 2})}^{2}$

Paso 2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y + 11}$ como ${(y + 11)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 11)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 + \sqrt{y - 2})}^{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${({(y + 11)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(y + 11)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 11)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 + \sqrt{y - 2})}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(y + 11)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 + \sqrt{y - 2})}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(y + 11)}^{1} = {(2 + \sqrt{y - 2})}^{2}$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

$y + 11 = {(2 + \sqrt{y - 2})}^{2}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica ${(2 + \sqrt{y - 2})}^{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe ${(2 + \sqrt{y - 2})}^{2}$ como $(2 + \sqrt{y - 2}) (2 + \sqrt{y - 2})$ .

$y + 11 = (2 + \sqrt{y - 2}) (2 + \sqrt{y - 2})$

Paso 2.3.1.2

Expande $(2 + \sqrt{y - 2}) (2 + \sqrt{y - 2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y + 11 = 2 (2 + \sqrt{y - 2}) + \sqrt{y - 2} (2 + \sqrt{y - 2})$

Paso 2.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y + 11 = 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{y - 2} + \sqrt{y - 2} (2 + \sqrt{y - 2})$

Paso 2.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y + 11 = 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{y - 2} + \sqrt{y - 2} \cdot 2 + \sqrt{y - 2} \sqrt{y - 2}$

Paso 2.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.3.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$y + 11 = 4 + 2 \sqrt{y - 2} + \sqrt{y - 2} \cdot 2 + \sqrt{y - 2} \sqrt{y - 2}$

Paso 2.3.1.3.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{y - 2}$ .

$y + 11 = 4 + 2 \sqrt{y - 2} + 2 \cdot \sqrt{y - 2} + \sqrt{y - 2} \sqrt{y - 2}$

Paso 2.3.1.3.1.3

Multiplica $\sqrt{y - 2} \sqrt{y - 2}$ .

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Paso 2.3.1.3.1.3.1

Eleva $\sqrt{y - 2}$ a la potencia de $1$ .

$y + 11 = 4 + 2 \sqrt{y - 2} + 2 \sqrt{y - 2} + {\sqrt{y - 2}}^{1} \sqrt{y - 2}$

Paso 2.3.1.3.1.3.2

Eleva $\sqrt{y - 2}$ a la potencia de $1$ .

$y + 11 = 4 + 2 \sqrt{y - 2} + 2 \sqrt{y - 2} + {\sqrt{y - 2}}^{1} {\sqrt{y - 2}}^{1}$

Paso 2.3.1.3.1.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y + 11 = 4 + 2 \sqrt{y - 2} + 2 \sqrt{y - 2} + {\sqrt{y - 2}}^{1 + 1}$

Paso 2.3.1.3.1.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$y + 11 = 4 + 2 \sqrt{y - 2} + 2 \sqrt{y - 2} + {\sqrt{y - 2}}^{2}$

Paso 2.3.1.3.1.4

Reescribe ${\sqrt{y - 2}}^{2}$ como $y - 2$ .

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Paso 2.3.1.3.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y - 2}$ como ${(y - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y + 11 = 4 + 2 \sqrt{y - 2} + 2 \sqrt{y - 2} + {({(y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 2.3.1.3.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + 11 = 4 + 2 \sqrt{y - 2} + 2 \sqrt{y - 2} + {(y - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 2.3.1.3.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y + 11 = 4 + 2 \sqrt{y - 2} + 2 \sqrt{y - 2} + {(y - 2)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.3.1.3.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.3.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$y + 11 = 4 + 2 \sqrt{y - 2} + 2 \sqrt{y - 2} + {(y - 2)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.3.1.3.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$y + 11 = 4 + 2 \sqrt{y - 2} + 2 \sqrt{y - 2} + {(y - 2)}^{1}$

Paso 2.3.1.3.1.4.5

Simplifica.

$y + 11 = 4 + 2 \sqrt{y - 2} + 2 \sqrt{y - 2} + y - 2$

Paso 2.3.1.3.2

Resta $2$ de $4$ .

$y + 11 = 2 + 2 \sqrt{y - 2} + 2 \sqrt{y - 2} + y$

Paso 2.3.1.3.3

Suma $2 \sqrt{y - 2}$ y $2 \sqrt{y - 2}$ .

$y + 11 = 2 + 4 \sqrt{y - 2} + y$

Paso 3

Resuelve $4 \sqrt{y - 2}$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $2 + 4 \sqrt{y - 2} + y = y + 11$ .

$2 + 4 \sqrt{y - 2} + y = y + 11$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que no contengan $4 \sqrt{y - 2}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$4 \sqrt{y - 2} + y = y + 11 - 2$

Paso 3.2.2

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$4 \sqrt{y - 2} = y + 11 - 2 - y$

Paso 3.2.3

Combina los términos opuestos en $y + 11 - 2 - y$ .

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Paso 3.2.3.1

Resta $y$ de $y$ .

$4 \sqrt{y - 2} = 0 + 11 - 2$

Paso 3.2.3.2

Suma $0$ y $11$ .

$4 \sqrt{y - 2} = 11 - 2$

Paso 3.2.4

Resta $2$ de $11$ .

$4 \sqrt{y - 2} = 9$

Paso 4

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(4 \sqrt{y - 2})}^{2} = 9^{2}$

Paso 5

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y - 2}$ como ${(y - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(4 {(y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 9^{2}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Simplifica ${(4 {(y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1

Aplica la regla del producto a $4 {(y - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4^{2} {({(y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 9^{2}$

Paso 5.2.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$16 {({(y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 9^{2}$

Paso 5.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 {(y - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^{2}$

Paso 5.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$16 {(y - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^{2}$

Paso 5.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$16 {(y - 2)}^{1} = 9^{2}$

Paso 5.2.1.4

Simplifica.

$16 (y - 2) = 9^{2}$

Paso 5.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$16 y + 16 \cdot - 2 = 9^{2}$

Paso 5.2.1.6

Multiplica $16$ por $- 2$ .

$16 y - 32 = 9^{2}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$16 y - 32 = 81$

Paso 6

Resuelve $y$

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Paso 6.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.1.1

Suma $32$ a ambos lados de la ecuación.

$16 y = 81 + 32$

Paso 6.1.2

Suma $81$ y $32$ .

$16 y = 113$

Paso 6.2

Divide cada término en $16 y = 113$ por $16$ y simplifica.

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Paso 6.2.1

Divide cada término en $16 y = 113$ por $16$ .

$\frac{16 y}{16} = \frac{113}{16}$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Cancela el factor común de $16$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{16 y}{16} = \frac{113}{16}$

Paso 6.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{113}{16}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$y = \frac{113}{16}$

Forma decimal:

$y = 7.0625$

Forma de número mixto:

$y = 7 \frac{1}{16}$