Preálgebra Ejemplos

$9 + \frac{2}{y - 1} = - \frac{4}{y - 2}$

Paso 1

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{2}{y - 1} = - \frac{4}{y - 2} - 9$

Paso 2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y - 1, y - 2, 1$

Paso 2.2

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 2.3

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 2.4

El MCM de $1, 1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$1$

Paso 2.5

El factor para $y - 1$ es $y - 1$ en sí mismo.

$(y - 1) = y - 1$

$(y - 1)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.6

El factor para $y - 2$ es $y - 2$ en sí mismo.

$(y - 2) = y - 2$

$(y - 2)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.7

El MCM de $y - 1, y - 2$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$(y - 1) (y - 2)$

Paso 3

Multiplica cada término en $\frac{2}{y - 1} = - \frac{4}{y - 2} - 9$ por $(y - 1) (y - 2)$ para eliminar las fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Multiplica cada término en $\frac{2}{y - 1} = - \frac{4}{y - 2} - 9$ por $(y - 1) (y - 2)$ .

$\frac{2}{y - 1} ((y - 1) (y - 2)) = - \frac{4}{y - 2} ((y - 1) (y - 2)) - 9 ((y - 1) (y - 2))$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $y - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{y - 1} ((y - 1) (y - 2)) = - \frac{4}{y - 2} ((y - 1) (y - 2)) - 9 ((y - 1) (y - 2))$

Paso 3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$2 (y - 2) = - \frac{4}{y - 2} ((y - 1) (y - 2)) - 9 ((y - 1) (y - 2))$

Paso 3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y + 2 \cdot - 2 = - \frac{4}{y - 2} ((y - 1) (y - 2)) - 9 ((y - 1) (y - 2))$

Paso 3.2.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$2 y - 4 = - \frac{4}{y - 2} ((y - 1) (y - 2)) - 9 ((y - 1) (y - 2))$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común de $y - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{4}{y - 2}$ al numerador.

$2 y - 4 = \frac{- 4}{y - 2} ((y - 1) (y - 2)) - 9 ((y - 1) (y - 2))$

Paso 3.3.1.1.2

Factoriza $y - 2$ de $(y - 1) (y - 2)$ .

$2 y - 4 = \frac{- 4}{y - 2} ((y - 2) (y - 1)) - 9 ((y - 1) (y - 2))$

Paso 3.3.1.1.3

Cancela el factor común.

$2 y - 4 = \frac{- 4}{y - 2} ((y - 2) (y - 1)) - 9 ((y - 1) (y - 2))$

Paso 3.3.1.1.4

Reescribe la expresión.

$2 y - 4 = - 4 (y - 1) - 9 ((y - 1) (y - 2))$

Paso 3.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y - 4 = - 4 y - 4 \cdot - 1 - 9 ((y - 1) (y - 2))$

Paso 3.3.1.3

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$2 y - 4 = - 4 y + 4 - 9 ((y - 1) (y - 2))$

Paso 3.3.1.4

Expande $(y - 1) (y - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y - 4 = - 4 y + 4 - 9 (y (y - 2) - 1 (y - 2))$

Paso 3.3.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y - 4 = - 4 y + 4 - 9 (y \cdot y + y \cdot - 2 - 1 (y - 2))$

Paso 3.3.1.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y - 4 = - 4 y + 4 - 9 (y \cdot y + y \cdot - 2 - 1 y - 1 \cdot - 2)$

Paso 3.3.1.5

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1.5.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1.5.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$2 y - 4 = - 4 y + 4 - 9 (y^{2} + y \cdot - 2 - 1 y - 1 \cdot - 2)$

Paso 3.3.1.5.1.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $y$ .

$2 y - 4 = - 4 y + 4 - 9 (y^{2} - 2 \cdot y - 1 y - 1 \cdot - 2)$

Paso 3.3.1.5.1.3

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$2 y - 4 = - 4 y + 4 - 9 (y^{2} - 2 y - y - 1 \cdot - 2)$

Paso 3.3.1.5.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$2 y - 4 = - 4 y + 4 - 9 (y^{2} - 2 y - y + 2)$

Paso 3.3.1.5.2

Resta $y$ de $- 2 y$ .

$2 y - 4 = - 4 y + 4 - 9 (y^{2} - 3 y + 2)$

Paso 3.3.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y - 4 = - 4 y + 4 - 9 y^{2} - 9 (- 3 y) - 9 \cdot 2$

Paso 3.3.1.7

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1.7.1

Multiplica $- 3$ por $- 9$ .

$2 y - 4 = - 4 y + 4 - 9 y^{2} + 27 y - 9 \cdot 2$

Paso 3.3.1.7.2

Multiplica $- 9$ por $2$ .

$2 y - 4 = - 4 y + 4 - 9 y^{2} + 27 y - 18$

Paso 3.3.2

Simplifica mediante la adición de términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1

Suma $- 4 y$ y $27 y$ .

$2 y - 4 = 23 y + 4 - 9 y^{2} - 18$

Paso 3.3.2.2

Resta $18$ de $4$ .

$2 y - 4 = 23 y - 9 y^{2} - 14$

Paso 4

Resuelve la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Como $y$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$23 y - 9 y^{2} - 14 = 2 y - 4$

Paso 4.2

Mueve todos los términos que contengan $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Resta $2 y$ de ambos lados de la ecuación.

$23 y - 9 y^{2} - 14 - 2 y = - 4$

Paso 4.2.2

Resta $2 y$ de $23 y$ .

$21 y - 9 y^{2} - 14 = - 4$

Paso 4.3

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$21 y - 9 y^{2} - 14 + 4 = 0$

Paso 4.4

Suma $- 14$ y $4$ .

$21 y - 9 y^{2} - 10 = 0$

Paso 4.5

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.1

Factoriza $- 1$ de $21 y - 9 y^{2} - 10$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.1.1

Reordena $21 y$ y $- 9 y^{2}$ .

$- 9 y^{2} + 21 y - 10 = 0$

Paso 4.5.1.2

Factoriza $- 1$ de $- 9 y^{2}$ .

$- (9 y^{2}) + 21 y - 10 = 0$

Paso 4.5.1.3

Factoriza $- 1$ de $21 y$ .

$- (9 y^{2}) - (- 21 y) - 10 = 0$

Paso 4.5.1.4

Reescribe $- 10$ como $- 1 (10)$ .

$- (9 y^{2}) - (- 21 y) - 1 \cdot 10 = 0$

Paso 4.5.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (9 y^{2}) - (- 21 y)$ .

$- (9 y^{2} - 21 y) - 1 \cdot 10 = 0$

Paso 4.5.1.6

Factoriza $- 1$ de $- (9 y^{2} - 21 y) - 1 (10)$ .

$- (9 y^{2} - 21 y + 10) = 0$

Paso 4.5.2

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.2.1

Factoriza por agrupación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 9 \cdot 10 = 90$ y cuya suma es $b = - 21$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.2.1.1.1

Factoriza $- 21$ de $- 21 y$ .

$- (9 y^{2} - 21 y + 10) = 0$

Paso 4.5.2.1.1.2

Reescribe $- 21$ como $- 6$ más $- 15$

$- (9 y^{2} + (- 6 - 15) y + 10) = 0$

Paso 4.5.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- (9 y^{2} - 6 y - 15 y + 10) = 0$

Paso 4.5.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- ((9 y^{2} - 6 y) - 15 y + 10) = 0$

Paso 4.5.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- (3 y (3 y - 2) - 5 (3 y - 2)) = 0$

Paso 4.5.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 y - 2$ .

$- ((3 y - 2) (3 y - 5)) = 0$

Paso 4.5.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (3 y - 2) (3 y - 5) = 0$

Paso 4.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 y - 2 = 0$

$3 y - 5 = 0$

Paso 4.7

Establece $3 y - 2$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.7.1

Establece $3 y - 2$ igual a $0$ .

$3 y - 2 = 0$

Paso 4.7.2

Resuelve $3 y - 2 = 0$ en $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.7.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$3 y = 2$

Paso 4.7.2.2

Divide cada término en $3 y = 2$ por $3$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.7.2.2.1

Divide cada término en $3 y = 2$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{2}{3}$

Paso 4.7.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.7.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.7.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y}{3} = \frac{2}{3}$

Paso 4.7.2.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{2}{3}$

Paso 4.8

Establece $3 y - 5$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.8.1

Establece $3 y - 5$ igual a $0$ .

$3 y - 5 = 0$

Paso 4.8.2

Resuelve $3 y - 5 = 0$ en $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.8.2.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$3 y = 5$

Paso 4.8.2.2

Divide cada término en $3 y = 5$ por $3$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.8.2.2.1

Divide cada término en $3 y = 5$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{5}{3}$

Paso 4.8.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.8.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.8.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y}{3} = \frac{5}{3}$

Paso 4.8.2.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{5}{3}$

Paso 4.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (3 y - 2) (3 y - 5) = 0$ verdadera.

$y = \frac{2}{3}, \frac{5}{3}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$y = \frac{2}{3}, \frac{5}{3}$

Forma decimal:

$y = 0.\overline{6}, 1.\overline{6}$

Forma de número mixto:

$y = \frac{2}{3}, 1 \frac{2}{3}$