Preálgebra Ejemplos

$\frac{y - 5}{y - 2} = \frac{1}{y^{2} + 9 y - 22}$

Paso 1

Factoriza $y^{2} + 9 y - 22$ con el método AC.

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Paso 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 22$ y cuya suma es $9$ .

$- 2, 11$

Paso 1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{y - 5}{y - 2} = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)}$

Paso 2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y - 2, (y - 2) (y + 11)$

Paso 2.2

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 2.3

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 2.4

El MCM de $1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$1$

Paso 2.5

El factor para $y - 2$ es $y - 2$ en sí mismo.

$(y - 2) = y - 2$

$(y - 2)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.6

El factor para $y + 11$ es $y + 11$ en sí mismo.

$(y + 11) = y + 11$

$(y + 11)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.7

El MCM de $y - 2, y - 2, y + 11$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$(y - 2) (y + 11)$

Paso 3

Multiplica cada término en $\frac{y - 5}{y - 2} = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)}$ por $(y - 2) (y + 11)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.1

Multiplica cada término en $\frac{y - 5}{y - 2} = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)}$ por $(y - 2) (y + 11)$ .

$\frac{y - 5}{y - 2} ((y - 2) (y + 11)) = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $y - 2$ .

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y - 5}{y - 2} ((y - 2) (y + 11)) = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

Paso 3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$(y - 5) (y + 11) = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

Paso 3.2.2

Expande $(y - 5) (y + 11)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y (y + 11) - 5 (y + 11) = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

Paso 3.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y \cdot y + y \cdot 11 - 5 (y + 11) = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

Paso 3.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y \cdot y + y \cdot 11 - 5 y - 5 \cdot 11 = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

Paso 3.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.3.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$y^{2} + y \cdot 11 - 5 y - 5 \cdot 11 = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

Paso 3.2.3.1.2

Mueve $11$ a la izquierda de $y$ .

$y^{2} + 11 \cdot y - 5 y - 5 \cdot 11 = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

Paso 3.2.3.1.3

Multiplica $- 5$ por $11$ .

$y^{2} + 11 y - 5 y - 55 = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

Paso 3.2.3.2

Resta $5 y$ de $11 y$ .

$y^{2} + 6 y - 55 = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $(y - 2) (y + 11)$ .

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Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común.

$y^{2} + 6 y - 55 = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

Paso 3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} + 6 y - 55 = 1$

Paso 4

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.1

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

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Paso 4.1.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} + 6 y - 55 - 1 = 0$

Paso 4.1.2

Resta $1$ de $- 55$ .

$y^{2} + 6 y - 56 = 0$

Paso 4.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 6$ y $c = - 56$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 56)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4

Simplifica.

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Paso 4.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.4.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 56}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 56$ .

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Paso 4.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 56}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 56$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 224}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.1.3

Suma $36$ y $224$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{260}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.1.4

Reescribe $260$ como $2^{2} \cdot 65$ .

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Paso 4.4.1.4.1

Factoriza $4$ de $260$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (65)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 65}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{65}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{65}}{2}$

Paso 4.4.3

Simplifica $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{65}}{2}$ .

$y = - 3 \pm \sqrt{65}$

Paso 4.5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = - 3 + \sqrt{65}, - 3 - \sqrt{65}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$y = - 3 + \sqrt{65}, - 3 - \sqrt{65}$

Forma decimal:

$y = 5.06225774 \dots, - 11.06225774 \dots$