Preálgebra Ejemplos

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(0.25 \div \sqrt{2})}^{- x}$

Paso 1

Reescribe la división como una fracción.

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.25}{\sqrt{2}})}^{- x}$

Paso 2

Multiplica $\frac{0.25}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.25}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{- x}$

Paso 3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{0.25}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.25 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{- x}$

Paso 3.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.25 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{- x}$

Paso 3.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.25 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{- x}$

Paso 3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.25 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{- x}$

Paso 3.5

Suma $1$ y $1$ .

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.25 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{- x}$

Paso 3.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.25 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{- x}$

Paso 3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.25 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{- x}$

Paso 3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.25 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{- x}$

Paso 3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.6.4.1

Cancela el factor común.

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.25 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{- x}$

Paso 3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.25 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{- x}$

Paso 3.6.5

Evalúa el exponente.

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.25 \sqrt{2}}{2})}^{- x}$

Paso 4

Multiplica $0.25$ por $\sqrt{2}$ .

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {(\frac{0.35355339}{2})}^{- x}$

Paso 5

Divide $0.35355339$ por $2$ .

$0.125 \cdot 4^{2 x - 8} = {0.17677669}^{- x}$

Paso 6

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (0.125 \cdot 4^{2 x - 8}) = \ln ({0.17677669}^{- x})$

Paso 7

Expande el lado izquierdo.

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Paso 7.1

Reescribe $\ln (0.125 \cdot 4^{2 x - 8})$ como $\ln (0.125) + \ln (4^{2 x - 8})$ .

$\ln (0.125) + \ln (4^{2 x - 8}) = \ln ({0.17677669}^{- x})$

Paso 7.2

Expande $\ln (4^{2 x - 8})$ ; para ello, mueve $2 x - 8$ fuera del logaritmo.

$\ln (0.125) + (2 x - 8) \ln (4) = \ln ({0.17677669}^{- x})$

Paso 8

Expande $\ln ({0.17677669}^{- x})$ ; para ello, mueve $- x$ fuera del logaritmo.

$\ln (0.125) + (2 x - 8) \ln (4) = - x \ln (0.17677669)$

Paso 9

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (0.125) + 2 x \ln (4) - 8 \ln (4) = - x \ln (0.17677669)$

Paso 10

Reordena $\ln (0.125)$ y $2 x \ln (4)$ .

$2 x \ln (4) + \ln (0.125) - 8 \ln (4) = - x \ln (0.17677669)$

Paso 11

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$2 x \ln (4) + \ln (0.125) - 8 \ln (4) + x \ln (0.17677669) = 0$

Paso 12

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 12.1

Resta $\ln (0.125)$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x \ln (4) - 8 \ln (4) + x \ln (0.17677669) = - \ln (0.125)$

Paso 12.2

Suma $8 \ln (4)$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x \ln (4) + x \ln (0.17677669) = - \ln (0.125) + 8 \ln (4)$

Paso 13

Factoriza $x$ de $2 x \ln (4) + x \ln (0.17677669)$ .

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Paso 13.1

Factoriza $x$ de $2 x \ln (4)$ .

$x (2 \ln (4)) + x \ln (0.17677669) = - \ln (0.125) + 8 \ln (4)$

Paso 13.2

Factoriza $x$ de $x \ln (0.17677669)$ .

$x (2 \ln (4)) + x (\ln (0.17677669)) = - \ln (0.125) + 8 \ln (4)$

Paso 13.3

Factoriza $x$ de $x (2 \ln (4)) + x (\ln (0.17677669))$ .

$x (2 \ln (4) + \ln (0.17677669)) = - \ln (0.125) + 8 \ln (4)$

Paso 14

Divide cada término en $x (2 \ln (4) + \ln (0.17677669)) = - \ln (0.125) + 8 \ln (4)$ por $2 \ln (4) + \ln (0.17677669)$ y simplifica.

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Paso 14.1

Divide cada término en $x (2 \ln (4) + \ln (0.17677669)) = - \ln (0.125) + 8 \ln (4)$ por $2 \ln (4) + \ln (0.17677669)$ .

$\frac{x (2 \ln (4) + \ln (0.17677669))}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)} = \frac{- \ln (0.125)}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)} + \frac{8 \ln (4)}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)}$

Paso 14.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 14.2.1

Cancela el factor común de $2 \ln (4) + \ln (0.17677669)$ .

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Paso 14.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (2 \ln (4) + \ln (0.17677669))}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)} = \frac{- \ln (0.125)}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)} + \frac{8 \ln (4)}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)}$

Paso 14.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (0.125)}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)} + \frac{8 \ln (4)}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)}$

Paso 14.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 14.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{- \ln (0.125) + 8 \ln (4)}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)}$

Paso 14.3.2

Factoriza $- 1$ de $- \ln (0.125)$ .

$x = \frac{- \ln (0.125) + 8 \ln (4)}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)}$

Paso 14.3.3

Factoriza $- 1$ de $8 \ln (4)$ .

$x = \frac{- \ln (0.125) - (- 8 \ln (4))}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)}$

Paso 14.3.4

Factoriza $- 1$ de $- \ln (0.125) - (- 8 \ln (4))$ .

$x = \frac{- (\ln (0.125) - 8 \ln (4))}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)}$

Paso 14.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 14.3.5.1

Reescribe $- (\ln (0.125) - 8 \ln (4))$ como $- 1 (\ln (0.125) - 8 \ln (4))$ .

$x = \frac{- 1 (\ln (0.125) - 8 \ln (4))}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)}$

Paso 14.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{\ln (0.125) - 8 \ln (4)}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)}$

Paso 15

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{\ln (0.125) - 8 \ln (4)}{2 \ln (4) + \ln (0.17677669)}$

Forma decimal:

$x = 12.\overline{6}$