Preálgebra Ejemplos

$x^{3} - 34 x - 12 = 0$

Paso 1

Factoriza $x^{3} - 34 x - 12$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Paso 1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Paso 1.3

Sustituye $6$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $6$ es una raíz del polinomio.

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Paso 1.3.1

Sustituye $6$ en el polinomio.

$6^{3} - 34 \cdot 6 - 12$

Paso 1.3.2

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$216 - 34 \cdot 6 - 12$

Paso 1.3.3

Multiplica $- 34$ por $6$ .

$216 - 204 - 12$

Paso 1.3.4

Resta $204$ de $216$ .

$12 - 12$

Paso 1.3.5

Resta $12$ de $12$ .

$0$

Paso 1.4

Como $6$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 6$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} - 34 x - 12}{x - 6}$

Paso 1.5

Divide $x^{3} - 34 x - 12$ por $x - 6$ .

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Paso 1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$6$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$34 x$

$12$

Paso 1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$

Paso 1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$
			+	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Paso 1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} - 6 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Paso 1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

Paso 1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$34 x$

Paso 1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $6 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$34 x$

Paso 1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$34 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$36 x$

Paso 1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $6 x^{2} - 36 x$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$34 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$36 x$

Paso 1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$34 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$36 x$
							+	$2 x$

Paso 1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$34 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$36 x$
							+	$2 x$	-	$12$

Paso 1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$2$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$34 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$36 x$
							+	$2 x$	-	$12$

Paso 1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$2$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$34 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$36 x$
							+	$2 x$	-	$12$
							+	$2 x$	-	$12$

Paso 1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 x - 12$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$2$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$34 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$36 x$
							+	$2 x$	-	$12$
							-	$2 x$	+	$12$

Paso 1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$2$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$34 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$34 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$36 x$
							+	$2 x$	-	$12$
							-	$2 x$	+	$12$
										$0$

Paso 1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} + 6 x + 2$

Paso 1.6

Escribe $x^{3} - 34 x - 12$ como un conjunto de factores.

$(x - 6) (x^{2} + 6 x + 2) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x^{2} + 6 x + 2 = 0$

Paso 3

Establece $x - 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $x - 6$ igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Paso 3.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Paso 4

Establece $x^{2} + 6 x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x^{2} + 6 x + 2$ igual a $0$ .

$x^{2} + 6 x + 2 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x^{2} + 6 x + 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 6$ y $c = 2$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3

Simplifica.

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Paso 4.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.3.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Paso 4.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.3

Resta $8$ de $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.4

Reescribe $28$ como $2^{2} \cdot 7$ .

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Paso 4.2.3.1.4.1

Factoriza $4$ de $28$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Paso 4.2.3.3

Simplifica $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = - 3 \pm \sqrt{7}$

Paso 4.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - 3 + \sqrt{7}, - 3 - \sqrt{7}$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 6) (x^{2} + 6 x + 2) = 0$ verdadera.

$x = 6, - 3 + \sqrt{7}, - 3 - \sqrt{7}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = 6, - 3 + \sqrt{7}, - 3 - \sqrt{7}$

Forma decimal:

$x = 6, - 0.35424868 \dots, - 5.64575131 \dots$