Preálgebra Ejemplos

$\frac{x}{x - 3} + \frac{21}{x^{2} - 4} = \frac{18}{x^{2} - 9}$

Paso 1

Simplifica $\frac{x}{x - 3} + \frac{21}{x^{2} - 4}$ .

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Paso 1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{x}{x - 3} + \frac{21}{x^{2} - 2^{2}} = \frac{18}{x^{2} - 9}$

Paso 1.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{x}{x - 3} + \frac{21}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{18}{x^{2} - 9}$

Paso 1.2

Para escribir $\frac{x}{x - 3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{x}{x - 3} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{21}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{18}{x^{2} - 9}$

Paso 1.3

Para escribir $\frac{21}{(x + 2) (x - 2)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{x}{x - 3} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{21}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} = \frac{18}{x^{2} - 9}$

Paso 1.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x - 3) (x + 2) (x - 2)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.4.1

Multiplica $\frac{x}{x - 3}$ por $\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{x ((x + 2) (x - 2))}{(x - 3) ((x + 2) (x - 2))} + \frac{21}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} = \frac{18}{x^{2} - 9}$

Paso 1.4.2

Multiplica $\frac{21}{(x + 2) (x - 2)}$ por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{x ((x + 2) (x - 2))}{(x - 3) ((x + 2) (x - 2))} + \frac{21 (x - 3)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} = \frac{18}{x^{2} - 9}$

Paso 1.4.3

Reordena los factores de $(x - 3) ((x + 2) (x - 2))$ .

$\frac{x ((x + 2) (x - 2))}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} + \frac{21 (x - 3)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} = \frac{18}{x^{2} - 9}$

Paso 1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x ((x + 2) (x - 2)) + 21 (x - 3)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} = \frac{18}{x^{2} - 9}$

Paso 1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.6.1

Expande $(x + 2) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x (x - 2) + 2 (x - 2)) + 21 (x - 3)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} = \frac{18}{x^{2} - 9}$

Paso 1.6.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) + 21 (x - 3)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} = \frac{18}{x^{2} - 9}$

Paso 1.6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) + 21 (x - 3)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} = \frac{18}{x^{2} - 9}$

Paso 1.6.2

Combina los términos opuestos en $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Paso 1.6.2.1

Reordena los factores en los términos $x \cdot - 2$ y $2 x$ .

$\frac{x (x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) + 21 (x - 3)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} = \frac{18}{x^{2} - 9}$

Paso 1.6.2.2

Suma $- 2 x$ y $2 x$ .

$\frac{x (x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) + 21 (x - 3)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} = \frac{18}{x^{2} - 9}$

Paso 1.6.2.3

Suma $x \cdot x$ y $0$ .

$\frac{x (x \cdot x + 2 \cdot - 2) + 21 (x - 3)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} = \frac{18}{x^{2} - 9}$

Paso 1.6.3

Simplifica cada término.

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Paso 1.6.3.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x (x^{2} + 2 \cdot - 2) + 21 (x - 3)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} = \frac{18}{x^{2} - 9}$

Paso 1.6.3.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{x (x^{2} - 4) + 21 (x - 3)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} = \frac{18}{x^{2} - 9}$

Paso 1.6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 4 + 21 (x - 3)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} = \frac{18}{x^{2} - 9}$

Paso 1.6.5

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.6.5.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.6.5.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{1} x^{2} + x \cdot - 4 + 21 (x - 3)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} = \frac{18}{x^{2} - 9}$

Paso 1.6.5.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{1 + 2} + x \cdot - 4 + 21 (x - 3)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} = \frac{18}{x^{2} - 9}$

Paso 1.6.5.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{x^{3} + x \cdot - 4 + 21 (x - 3)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} = \frac{18}{x^{2} - 9}$

Paso 1.6.6

Mueve $- 4$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{x^{3} - 4 \cdot x + 21 (x - 3)}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} = \frac{18}{x^{2} - 9}$

Paso 1.6.7

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{3} - 4 x + 21 x + 21 \cdot - 3}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} = \frac{18}{x^{2} - 9}$

Paso 1.6.8

Multiplica $21$ por $- 3$ .

$\frac{x^{3} - 4 x + 21 x - 63}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} = \frac{18}{x^{2} - 9}$

Paso 1.6.9

Suma $- 4 x$ y $21 x$ .

$\frac{x^{3} + 17 x - 63}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} = \frac{18}{x^{2} - 9}$

Paso 2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 17 x - 63}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} = \frac{18}{x^{2} - 3^{2}}$

Paso 2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\frac{x^{3} + 17 x - 63}{(x + 2) (x - 2) (x - 3)} = \frac{18}{(x + 3) (x - 3)}$

Paso 3

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$x \approx - 4.16642404$

Paso 4