Preálgebra Ejemplos

$\sqrt{x} - 5 \sqrt[4]{x} - 24 = 0$

Paso 1

Factoriza $\sqrt{x} - 5 \sqrt[4]{x} - 24$ .

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 5 \sqrt[4]{x} - 24 = 0$

Paso 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{x}$ como $x^{\frac{1}{4}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 5 x^{\frac{1}{4}} - 24 = 0$

Paso 1.3

Reescribe $x^{\frac{1}{2}}$ como ${(x^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

${(x^{\frac{1}{4}})}^{2} - 5 x^{\frac{1}{4}} - 24 = 0$

Paso 1.4

Sea $u = x^{\frac{1}{4}}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{\frac{1}{4}}$ .

$u^{2} - 5 u - 24 = 0$

Paso 1.5

Factoriza $u^{2} - 5 u - 24$ con el método AC.

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Paso 1.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 24$ y cuya suma es $- 5$ .

$- 8, 3$

Paso 1.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 8) (u + 3) = 0$

Paso 1.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{1}{4}}$ .

$(x^{\frac{1}{4}} - 8) (x^{\frac{1}{4}} + 3) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{\frac{1}{4}} - 8 = 0$

$x^{\frac{1}{4}} + 3 = 0$

Paso 3

Establece $x^{\frac{1}{4}} - 8$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $x^{\frac{1}{4}} - 8$ igual a $0$ .

$x^{\frac{1}{4}} - 8 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x^{\frac{1}{4}} - 8 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{\frac{1}{4}} = 8$

Paso 3.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $4$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = 8^{4}$

Paso 3.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 3.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.3.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Paso 3.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Paso 3.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 8^{4}$

Paso 3.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 8^{4}$

Paso 3.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = 8^{4}$

Paso 3.2.3.1.1.2

Simplifica.

$x = 8^{4}$

Paso 3.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.2.1

Eleva $8$ a la potencia de $4$ .

$x = 4096$

Paso 4

Establece $x^{\frac{1}{4}} + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x^{\frac{1}{4}} + 3$ igual a $0$ .

$x^{\frac{1}{4}} + 3 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x^{\frac{1}{4}} + 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{\frac{1}{4}} = - 3$

Paso 4.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $4$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(- 3)}^{4}$

Paso 4.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 4.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.3.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Paso 4.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Paso 4.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 3)}^{4}$

Paso 4.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 3)}^{4}$

Paso 4.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = {(- 3)}^{4}$

Paso 4.2.3.1.1.2

Simplifica.

$x = {(- 3)}^{4}$

Paso 4.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.2.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $4$ .

$x = 81$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x^{\frac{1}{4}} - 8) (x^{\frac{1}{4}} + 3) = 0$ verdadera.

$x = 4096, 81$

Paso 6

Excluye las soluciones que no hagan que $\sqrt{x} - 5 \sqrt[4]{x} - 24 = 0$ sea verdadera.

$x = 4096$