Preálgebra Ejemplos

$8 x^{\frac{1}{3}} = x^{- \frac{2}{3}}$

Paso 1

Elimina los exponentes fraccionarios mediante la multiplicación de ambos exponentes por el mínimo común denominador (mcd).

${(8 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

Paso 2

Simplifica ${(8 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 2.1

Aplica la regla del producto a $8 x^{\frac{1}{3}}$ .

$8^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

Paso 2.2

Eleva $8$ a la potencia de $3$ .

$512 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

Paso 2.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$512 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

Paso 2.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común.

$512 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

Paso 2.3.2.2

Reescribe la expresión.

$512 x^{1} = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

Paso 2.4

Simplifica.

$512 x = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

Paso 3

Simplifica ${(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$512 x = x^{- \frac{2}{3} \cdot 3}$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{3}$ al numerador.

$512 x = x^{\frac{- 2}{3} \cdot 3}$

Paso 3.1.2.2

Cancela el factor común.

$512 x = x^{\frac{- 2}{3} \cdot 3}$

Paso 3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$512 x = x^{- 2}$

Paso 3.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$512 x = \frac{1}{x^{2}}$

Paso 4

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 4.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, x^{2}$

Paso 4.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{2}$

Paso 5

Multiplica cada término en $512 x = \frac{1}{x^{2}}$ por $x^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 5.1

Multiplica cada término en $512 x = \frac{1}{x^{2}}$ por $x^{2}$ .

$512 x \cdot x^{2} = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$512 (x^{2} x) = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 5.2.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$512 (x^{2} x^{1}) = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Paso 5.2.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$512 x^{2 + 1} = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Paso 5.2.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$512 x^{3} = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 5.3.1.1

Cancela el factor común.

$512 x^{3} = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Paso 5.3.1.2

Reescribe la expresión.

$512 x^{3} = 1$

Paso 6

Resuelve la ecuación.

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Paso 6.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$512 x^{3} - 1 = 0$

Paso 6.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.2.1

Reescribe $512 x^{3}$ como ${(8 x)}^{3}$ .

${(8 x)}^{3} - 1 = 0$

Paso 6.2.2

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

${(8 x)}^{3} - 1^{3} = 0$

Paso 6.2.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = 8 x$ y $b = 1$ .

$(8 x - 1) ({(8 x)}^{2} + 8 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 6.2.4

Simplifica.

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Paso 6.2.4.1

Aplica la regla del producto a $8 x$ .

$(8 x - 1) (8^{2} x^{2} + 8 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 6.2.4.2

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$(8 x - 1) (64 x^{2} + 8 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 6.2.4.3

Multiplica $8$ por $1$ .

$(8 x - 1) (64 x^{2} + 8 x + 1^{2}) = 0$

Paso 6.2.4.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(8 x - 1) (64 x^{2} + 8 x + 1) = 0$

Paso 6.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$8 x - 1 = 0$

$64 x^{2} + 8 x + 1 = 0$

Paso 6.4

Establece $8 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.4.1

Establece $8 x - 1$ igual a $0$ .

$8 x - 1 = 0$

Paso 6.4.2

Resuelve $8 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.4.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$8 x = 1$

Paso 6.4.2.2

Divide cada término en $8 x = 1$ por $8$ y simplifica.

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Paso 6.4.2.2.1

Divide cada término en $8 x = 1$ por $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{1}{8}$

Paso 6.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 6.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 x}{8} = \frac{1}{8}$

Paso 6.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{8}$

Paso 6.5

Establece $64 x^{2} + 8 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.5.1

Establece $64 x^{2} + 8 x + 1$ igual a $0$ .

$64 x^{2} + 8 x + 1 = 0$

Paso 6.5.2

Resuelve $64 x^{2} + 8 x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.5.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 6.5.2.2

Sustituye los valores $a = 64$ , $b = 8$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (64 \cdot 1)}}{2 \cdot 64}$

Paso 6.5.2.3

Simplifica.

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Paso 6.5.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.5.2.3.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 64 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Paso 6.5.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 64 \cdot 1$ .

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Paso 6.5.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 256 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

Paso 6.5.2.3.1.2.2

Multiplica $- 256$ por $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 256}}{2 \cdot 64}$

Paso 6.5.2.3.1.3

Resta $256$ de $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 64}$

Paso 6.5.2.3.1.4

Reescribe $- 192$ como $- 1 (192)$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 64}$

Paso 6.5.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (192)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 64}$

Paso 6.5.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 64}$

Paso 6.5.2.3.1.7

Reescribe $192$ como $8^{2} \cdot 3$ .

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Paso 6.5.2.3.1.7.1

Factoriza $64$ de $192$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 64}$

Paso 6.5.2.3.1.7.2

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 64}$

Paso 6.5.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 64}$

Paso 6.5.2.3.1.9

Mueve $8$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 64}$

Paso 6.5.2.3.2

Multiplica $2$ por $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{128}$

Paso 6.5.2.3.3

Simplifica $\frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{128}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{16}$

Paso 6.5.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{16}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{16}$

Paso 6.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(8 x - 1) (64 x^{2} + 8 x + 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{1}{8}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{16}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{16}$