Preálgebra Ejemplos

$w^{4} - w = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Factoriza $w$ de $w^{4} - w$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $w$ de $w^{4}$ .

$w \cdot w^{3} - w = 0$

Paso 1.1.2

Factoriza $w$ de $- w$ .

$w \cdot w^{3} + w \cdot - 1 = 0$

Paso 1.1.3

Factoriza $w$ de $w \cdot w^{3} + w \cdot - 1$ .

$w (w^{3} - 1) = 0$

Paso 1.2

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$w (w^{3} - 1^{3}) = 0$

Paso 1.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = w$ y $b = 1$ .

$w ((w - 1) (w^{2} + w \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Paso 1.4

Factoriza.

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Paso 1.4.1

Simplifica.

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Paso 1.4.1.1

Multiplica $w$ por $1$ .

$w ((w - 1) (w^{2} + w + 1^{2})) = 0$

Paso 1.4.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$w ((w - 1) (w^{2} + w + 1)) = 0$

Paso 1.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$w (w - 1) (w^{2} + w + 1) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$w = 0$

$w - 1 = 0$

$w^{2} + w + 1 = 0$

Paso 3

Establece $w$ igual a $0$ .

$w = 0$

Paso 4

Establece $w - 1$ igual a $0$ y resuelve $w$ .

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Paso 4.1

Establece $w - 1$ igual a $0$ .

$w - 1 = 0$

Paso 4.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$w = 1$

Paso 5

Establece $w^{2} + w + 1$ igual a $0$ y resuelve $w$ .

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Paso 5.1

Establece $w^{2} + w + 1$ igual a $0$ .

$w^{2} + w + 1 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $w^{2} + w + 1 = 0$ en $w$ .

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Paso 5.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 5.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 1$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $w$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.3

Simplifica.

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Paso 5.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$w = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 5.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$w = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$w = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.3.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$w = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.3.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$w = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$w = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$w = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$w = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 5.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$w = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $w (w - 1) (w^{2} + w + 1) = 0$ verdadera.

$w = 0, 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$