Preálgebra Ejemplos

${(x - 1)}^{\frac{2}{3}} + {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 6 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reescribe ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ como ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2} + {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 6 = 0$

Paso 1.2

Sea $u = {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$u^{2} + u - 6 = 0$

Paso 1.3

Factoriza $u^{2} + u - 6$ con el método AC.

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Paso 1.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $1$ .

$- 2, 3$

Paso 1.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 2) (u + 3) = 0$

Paso 1.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$({(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2) ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 3) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$

${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$

Paso 3

Establece ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2$ igual a $0$ .

${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$

Paso 3.2

Resuelve ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} = 2$

Paso 3.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 2^{3}$

Paso 3.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 3.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.3.1.1

Simplifica ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Paso 3.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Paso 3.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(x - 1)}^{1} = 2^{3}$

Paso 3.2.3.1.1.2

Simplifica.

$x - 1 = 2^{3}$

Paso 3.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$x - 1 = 8$

Paso 3.2.4

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.2.4.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 8 + 1$

Paso 3.2.4.2

Suma $8$ y $1$ .

$x = 9$

Paso 4

Establece ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 3$ igual a $0$ .

${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$

Paso 4.2

Resuelve ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} = - 3$

Paso 4.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 3)}^{3}$

Paso 4.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 4.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.3.1.1

Simplifica ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 4.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 4.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 3)}^{3}$

Paso 4.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 3)}^{3}$

Paso 4.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(x - 1)}^{1} = {(- 3)}^{3}$

Paso 4.2.3.1.1.2

Simplifica.

$x - 1 = {(- 3)}^{3}$

Paso 4.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.2.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$x - 1 = - 27$

Paso 4.2.4

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.2.4.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = - 27 + 1$

Paso 4.2.4.2

Suma $- 27$ y $1$ .

$x = - 26$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $({(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2) ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 3) = 0$ verdadera.

$x = 9, - 26$