Preálgebra Ejemplos

$\frac{1}{42^{2}} = \frac{1}{4 x} + \frac{5}{4 x^{2}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{4 x} + \frac{5}{4 x^{2}} = \frac{1}{42^{2}}$ .

$\frac{1}{4 x} + \frac{5}{4 x^{2}} = \frac{1}{42^{2}}$

Paso 2

Eleva $42$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{4 x} + \frac{5}{4 x^{2}} = \frac{1}{1764}$

Paso 3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$4 x, 4 x^{2}, 1764$

Paso 3.2

Since $4 x, 4 x^{2}, 1764$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $4, 4, 1764$ then find LCM for the variable part $x^{1}, x^{2}$ .

Paso 3.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 3.4

$4$ tiene factores de $2$ y $2$ .

$2 \cdot 2$

Paso 3.5

Los factores primos para $1764$ son $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7$ .

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Paso 3.5.1

$1764$ tiene factores de $2$ y $882$ .

$2 \cdot 882$

Paso 3.5.2

$882$ tiene factores de $2$ y $441$ .

$2 \cdot 2 \cdot 441$

Paso 3.5.3

$441$ tiene factores de $3$ y $147$ .

$2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 147$

Paso 3.5.4

$147$ tiene factores de $3$ y $49$ .

$2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 49$

Paso 3.5.5

$49$ tiene factores de $7$ y $7$ .

$2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7$

Paso 3.6

Multiplica $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7$ .

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Paso 3.6.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7$

Paso 3.6.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$12 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7$

Paso 3.6.3

Multiplica $12$ por $3$ .

$36 \cdot 7 \cdot 7$

Paso 3.6.4

Multiplica $36$ por $7$ .

$252 \cdot 7$

Paso 3.6.5

Multiplica $252$ por $7$ .

$1764$

Paso 3.7

El factor para $x^{1}$ es $x$ en sí mismo.

$x^{1} = x$

$x$ ocurre $1$ vez.

Paso 3.8

Los factores para $x^{2}$ son $x \cdot x$ , que es $x$ multiplicada una por la otra $2$ veces.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ ocurre $2$ veces.

Paso 3.9

El MCM de $x^{1}, x^{2}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$x \cdot x$

Paso 3.10

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2}$

Paso 3.11

El MCM para $4 x, 4 x^{2}, 1764$ es la parte numérica $1764$ multiplicada por la parte variable.

$1764 x^{2}$

Paso 4

Multiplica cada término en $\frac{1}{4 x} + \frac{5}{4 x^{2}} = \frac{1}{1764}$ por $1764 x^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 4.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{4 x} + \frac{5}{4 x^{2}} = \frac{1}{1764}$ por $1764 x^{2}$ .

$\frac{1}{4 x} (1764 x^{2}) + \frac{5}{4 x^{2}} (1764 x^{2}) = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1764 \frac{1}{4 x} x^{2} + \frac{5}{4 x^{2}} (1764 x^{2}) = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Paso 4.2.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.2.1.2.1

Factoriza $4$ de $1764$ .

$4 (441) \frac{1}{4 x} x^{2} + \frac{5}{4 x^{2}} (1764 x^{2}) = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Paso 4.2.1.2.2

Factoriza $4$ de $4 x$ .

$4 (441) \frac{1}{4 (x)} x^{2} + \frac{5}{4 x^{2}} (1764 x^{2}) = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Paso 4.2.1.2.3

Cancela el factor común.

$4 \cdot 441 \frac{1}{4 x} x^{2} + \frac{5}{4 x^{2}} (1764 x^{2}) = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Paso 4.2.1.2.4

Reescribe la expresión.

$441 \frac{1}{x} x^{2} + \frac{5}{4 x^{2}} (1764 x^{2}) = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Paso 4.2.1.3

Combina $441$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{441}{x} x^{2} + \frac{5}{4 x^{2}} (1764 x^{2}) = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Paso 4.2.1.4

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.2.1.4.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{441}{x} (x \cdot x) + \frac{5}{4 x^{2}} (1764 x^{2}) = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Paso 4.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{441}{x} (x \cdot x) + \frac{5}{4 x^{2}} (1764 x^{2}) = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Paso 4.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$441 x + \frac{5}{4 x^{2}} (1764 x^{2}) = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Paso 4.2.1.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$441 x + 1764 \frac{5}{4 x^{2}} x^{2} = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Paso 4.2.1.6

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.2.1.6.1

Factoriza $4$ de $1764$ .

$441 x + 4 (441) \frac{5}{4 x^{2}} x^{2} = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Paso 4.2.1.6.2

Factoriza $4$ de $4 x^{2}$ .

$441 x + 4 (441) \frac{5}{4 (x^{2})} x^{2} = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Paso 4.2.1.6.3

Cancela el factor común.

$441 x + 4 \cdot 441 \frac{5}{4 x^{2}} x^{2} = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Paso 4.2.1.6.4

Reescribe la expresión.

$441 x + 441 \frac{5}{x^{2}} x^{2} = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Paso 4.2.1.7

Combina $441$ y $\frac{5}{x^{2}}$ .

$441 x + \frac{441 \cdot 5}{x^{2}} x^{2} = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Paso 4.2.1.8

Multiplica $441$ por $5$ .

$441 x + \frac{2205}{x^{2}} x^{2} = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Paso 4.2.1.9

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 4.2.1.9.1

Cancela el factor común.

$441 x + \frac{2205}{x^{2}} x^{2} = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Paso 4.2.1.9.2

Reescribe la expresión.

$441 x + 2205 = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Cancela el factor común de $1764$ .

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Paso 4.3.1.1

Factoriza $1764$ de $1764 x^{2}$ .

$441 x + 2205 = \frac{1}{1764} (1764 (x^{2}))$

Paso 4.3.1.2

Cancela el factor común.

$441 x + 2205 = \frac{1}{1764} (1764 x^{2})$

Paso 4.3.1.3

Reescribe la expresión.

$441 x + 2205 = x^{2}$

Paso 5

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$441 x + 2205 - x^{2} = 0$

Paso 5.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 5.3

Sustituye los valores $a = - 1$ , $b = 441$ y $c = 2205$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 441 \pm \sqrt{441^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 2205)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 5.4

Simplifica.

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Paso 5.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.4.1.1

Eleva $441$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 441 \pm \sqrt{194481 - 4 \cdot - 1 \cdot 2205}}{2 \cdot - 1}$

Paso 5.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot 2205$ .

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Paso 5.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 441 \pm \sqrt{194481 + 4 \cdot 2205}}{2 \cdot - 1}$

Paso 5.4.1.2.2

Multiplica $4$ por $2205$ .

$x = \frac{- 441 \pm \sqrt{194481 + 8820}}{2 \cdot - 1}$

Paso 5.4.1.3

Suma $194481$ y $8820$ .

$x = \frac{- 441 \pm \sqrt{203301}}{2 \cdot - 1}$

Paso 5.4.1.4

Reescribe $203301$ como $21^{2} \cdot 461$ .

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Paso 5.4.1.4.1

Factoriza $441$ de $203301$ .

$x = \frac{- 441 \pm \sqrt{441 (461)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 5.4.1.4.2

Reescribe $441$ como $21^{2}$ .

$x = \frac{- 441 \pm \sqrt{21^{2} \cdot 461}}{2 \cdot - 1}$

Paso 5.4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 441 \pm 21 \sqrt{461}}{2 \cdot - 1}$

Paso 5.4.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 441 \pm 21 \sqrt{461}}{- 2}$

Paso 5.4.3

Simplifica $\frac{- 441 \pm 21 \sqrt{461}}{- 2}$ .

$x = \frac{441 \pm 21 \sqrt{461}}{2}$

Paso 5.5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{441 + 21 \sqrt{461}}{2}, \frac{441 - 21 \sqrt{461}}{2}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{441 + 21 \sqrt{461}}{2}, \frac{441 - 21 \sqrt{461}}{2}$

Forma decimal:

$x = 445.94456081 \dots, - 4.94456081 \dots$