Preálgebra Ejemplos

$\frac{4 k^{2} - 3 k - 1}{4 k^{2} + 9 k + 5} \div \frac{16 k^{2} - 1}{4 k^{2} + 1 k - 5}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{4 k^{2} - 3 k - 1}{4 k^{2} + 9 k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

Paso 2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot - 1 = - 4$ y cuya suma es $b = - 3$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $- 3$ de $- 3 k$ .

$\frac{4 k^{2} - 3 (k) - 1}{4 k^{2} + 9 k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

Paso 2.1.2

Reescribe $- 3$ como $1$ más $- 4$

$\frac{4 k^{2} + (1 - 4) k - 1}{4 k^{2} + 9 k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

Paso 2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 k^{2} + 1 k - 4 k - 1}{4 k^{2} + 9 k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

Paso 2.1.4

Multiplica $k$ por $1$ .

$\frac{4 k^{2} + k - 4 k - 1}{4 k^{2} + 9 k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

Paso 2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(4 k^{2} + k) - 4 k - 1}{4 k^{2} + 9 k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

Paso 2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{k (4 k + 1) - (4 k + 1)}{4 k^{2} + 9 k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

Paso 2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 k + 1$ .

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{4 k^{2} + 9 k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

Paso 3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot 5 = 20$ y cuya suma es $b = 9$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $9$ de $9 k$ .

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{4 k^{2} + 9 (k) + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

Paso 3.1.2

Reescribe $9$ como $4$ más $5$

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{4 k^{2} + (4 + 5) k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{4 k^{2} + 4 k + 5 k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

Paso 3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(4 k^{2} + 4 k) + 5 k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

Paso 3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{4 k (k + 1) + 5 (k + 1)} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

Paso 3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $k + 1$ .

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

Paso 4

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot - 5 = - 20$ y cuya suma es $b = 1$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $1$ de $1 k$ .

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 (k) - 5}{16 k^{2} - 1}$

Paso 4.1.2

Reescribe $1$ como $- 4$ más $5$

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{4 k^{2} + (- 4 + 5) k - 5}{16 k^{2} - 1}$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{4 k^{2} - 4 k + 5 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

Paso 4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{(4 k^{2} - 4 k) + 5 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

Paso 4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{4 k (k - 1) + 5 (k - 1)}{16 k^{2} - 1}$

Paso 4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $k - 1$ .

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{(k - 1) (4 k + 5)}{16 k^{2} - 1}$

Paso 5

Simplifica el denominador.

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Paso 5.1

Reescribe $16 k^{2}$ como ${(4 k)}^{2}$ .

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{(k - 1) (4 k + 5)}{{(4 k)}^{2} - 1}$

Paso 5.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{(k - 1) (4 k + 5)}{{(4 k)}^{2} - 1^{2}}$

Paso 5.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 4 k$ y $b = 1$ .

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{(k - 1) (4 k + 5)}{(4 k + 1) (4 k - 1)}$

Paso 6

Simplifica los términos.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $4 k + 1$ .

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Paso 6.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{(k - 1) (4 k + 5)}{(4 k + 1) (4 k - 1)}$

Paso 6.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{k - 1}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{(k - 1) (4 k + 5)}{4 k - 1}$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $4 k + 5$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $4 k + 5$ de $(k + 1) (4 k + 5)$ .

$\frac{k - 1}{(4 k + 5) (k + 1)} \cdot \frac{(k - 1) (4 k + 5)}{4 k - 1}$

Paso 6.2.2

Factoriza $4 k + 5$ de $(k - 1) (4 k + 5)$ .

$\frac{k - 1}{(4 k + 5) (k + 1)} \cdot \frac{(4 k + 5) (k - 1)}{4 k - 1}$

Paso 6.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{k - 1}{(4 k + 5) (k + 1)} \cdot \frac{(4 k + 5) (k - 1)}{4 k - 1}$

Paso 6.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{k - 1}{k + 1} \cdot \frac{k - 1}{4 k - 1}$

Paso 6.3

Multiplica $\frac{k - 1}{k + 1}$ por $\frac{k - 1}{4 k - 1}$ .

$\frac{(k - 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k - 1)}$

Paso 7

Eleva $k - 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(k - 1)}^{1} (k - 1)}{(k + 1) (4 k - 1)}$

Paso 8

Eleva $k - 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(k - 1)}^{1} {(k - 1)}^{1}}{(k + 1) (4 k - 1)}$

Paso 9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{(k - 1)}^{1 + 1}}{(k + 1) (4 k - 1)}$

Paso 10

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{(k - 1)}^{2}}{(k + 1) (4 k - 1)}$