Preálgebra Ejemplos

$\frac{s}{s^{2} + 6 s + 9} + \frac{5}{s^{2} + 4 s + 3}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.1.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{s}{s^{2} + 6 s + 3^{2}} + \frac{5}{s^{2} + 4 s + 3}$

Paso 1.1.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$6 s = 2 \cdot s \cdot 3$

Paso 1.1.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{s}{s^{2} + 2 \cdot s \cdot 3 + 3^{2}} + \frac{5}{s^{2} + 4 s + 3}$

Paso 1.1.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = s$ y $b = 3$ .

$\frac{s}{{(s + 3)}^{2}} + \frac{5}{s^{2} + 4 s + 3}$

Paso 1.2

Factoriza $s^{2} + 4 s + 3$ con el método AC.

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Paso 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $3$ y cuya suma es $4$ .

$1, 3$

Paso 1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{s}{{(s + 3)}^{2}} + \frac{5}{(s + 1) (s + 3)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{s}{{(s + 3)}^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{s + 1}{s + 1}$ .

$\frac{s}{{(s + 3)}^{2}} \cdot \frac{s + 1}{s + 1} + \frac{5}{(s + 1) (s + 3)}$

Paso 3

Para escribir $\frac{5}{(s + 1) (s + 3)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{s + 3}{s + 3}$ .

$\frac{s}{{(s + 3)}^{2}} \cdot \frac{s + 1}{s + 1} + \frac{5}{(s + 1) (s + 3)} \cdot \frac{s + 3}{s + 3}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(s + 1) {(s + 3)}^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{s}{{(s + 3)}^{2}}$ por $\frac{s + 1}{s + 1}$ .

$\frac{s (s + 1)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)} + \frac{5}{(s + 1) (s + 3)} \cdot \frac{s + 3}{s + 3}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{5}{(s + 1) (s + 3)}$ por $\frac{s + 3}{s + 3}$ .

$\frac{s (s + 1)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)} + \frac{5 (s + 3)}{(s + 1) (s + 3) (s + 3)}$

Paso 4.3

Eleva $s + 3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{s (s + 1)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)} + \frac{5 (s + 3)}{(s + 1) ({(s + 3)}^{1} (s + 3))}$

Paso 4.4

Eleva $s + 3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{s (s + 1)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)} + \frac{5 (s + 3)}{(s + 1) ({(s + 3)}^{1} {(s + 3)}^{1})}$

Paso 4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{s (s + 1)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)} + \frac{5 (s + 3)}{(s + 1) {(s + 3)}^{1 + 1}}$

Paso 4.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{s (s + 1)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)} + \frac{5 (s + 3)}{(s + 1) {(s + 3)}^{2}}$

Paso 4.7

Reordena los factores de $(s + 1) {(s + 3)}^{2}$ .

$\frac{s (s + 1)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)} + \frac{5 (s + 3)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{s (s + 1) + 5 (s + 3)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{s \cdot s + s \cdot 1 + 5 (s + 3)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)}$

Paso 6.2

Multiplica $s$ por $s$ .

$\frac{s^{2} + s \cdot 1 + 5 (s + 3)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)}$

Paso 6.3

Multiplica $s$ por $1$ .

$\frac{s^{2} + s + 5 (s + 3)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)}$

Paso 6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{s^{2} + s + 5 s + 5 \cdot 3}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)}$

Paso 6.5

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{s^{2} + s + 5 s + 15}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)}$

Paso 6.6

Suma $s$ y $5 s$ .

$\frac{s^{2} + 6 s + 15}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)}$