Preálgebra Ejemplos

$\frac{8}{x^{2} - 36} - \frac{2}{x^{2} + 12 x + 36}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1.1

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{8}{x^{2} - 6^{2}} - \frac{2}{x^{2} + 12 x + 36}$

Paso 1.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 6$ .

$\frac{8}{(x + 6) (x - 6)} - \frac{2}{x^{2} + 12 x + 36}$

Paso 1.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.2.1

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{8}{(x + 6) (x - 6)} - \frac{2}{x^{2} + 12 x + 6^{2}}$

Paso 1.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$12 x = 2 \cdot x \cdot 6$

Paso 1.2.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{8}{(x + 6) (x - 6)} - \frac{2}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 6 + 6^{2}}$

Paso 1.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 6$ .

$\frac{8}{(x + 6) (x - 6)} - \frac{2}{{(x + 6)}^{2}}$

Paso 2

Para escribir $\frac{8}{(x + 6) (x - 6)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$\frac{8}{(x + 6) (x - 6)} \cdot \frac{x + 6}{x + 6} - \frac{2}{{(x + 6)}^{2}}$

Paso 3

Para escribir $- \frac{2}{{(x + 6)}^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$\frac{8}{(x + 6) (x - 6)} \cdot \frac{x + 6}{x + 6} - \frac{2}{{(x + 6)}^{2}} \cdot \frac{x - 6}{x - 6}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x - 6) {(x + 6)}^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{8}{(x + 6) (x - 6)}$ por $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$\frac{8 (x + 6)}{(x + 6) (x - 6) (x + 6)} - \frac{2}{{(x + 6)}^{2}} \cdot \frac{x - 6}{x - 6}$

Paso 4.2

Eleva $x + 6$ a la potencia de $1$ .

$\frac{8 (x + 6)}{{(x + 6)}^{1} (x + 6) (x - 6)} - \frac{2}{{(x + 6)}^{2}} \cdot \frac{x - 6}{x - 6}$

Paso 4.3

Eleva $x + 6$ a la potencia de $1$ .

$\frac{8 (x + 6)}{{(x + 6)}^{1} {(x + 6)}^{1} (x - 6)} - \frac{2}{{(x + 6)}^{2}} \cdot \frac{x - 6}{x - 6}$

Paso 4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{8 (x + 6)}{{(x + 6)}^{1 + 1} (x - 6)} - \frac{2}{{(x + 6)}^{2}} \cdot \frac{x - 6}{x - 6}$

Paso 4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{8 (x + 6)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)} - \frac{2}{{(x + 6)}^{2}} \cdot \frac{x - 6}{x - 6}$

Paso 4.6

Multiplica $\frac{2}{{(x + 6)}^{2}}$ por $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$\frac{8 (x + 6)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)} - \frac{2 (x - 6)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{8 (x + 6) - 2 (x - 6)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Factoriza $2$ de $8 (x + 6) - 2 (x - 6)$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $2$ de $8 (x + 6)$ .

$\frac{2 (4 (x + 6)) - 2 (x - 6)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

Paso 6.1.2

Factoriza $2$ de $- 2 (x - 6)$ .

$\frac{2 (4 (x + 6)) + 2 (- (x - 6))}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

Paso 6.1.3

Factoriza $2$ de $2 (4 (x + 6)) + 2 (- (x - 6))$ .

$\frac{2 (4 (x + 6) - (x - 6))}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (4 x + 4 \cdot 6 - (x - 6))}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

Paso 6.3

Multiplica $4$ por $6$ .

$\frac{2 (4 x + 24 - (x - 6))}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

Paso 6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (4 x + 24 - x - - 6)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

Paso 6.5

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$\frac{2 (4 x + 24 - x + 6)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

Paso 6.6

Resta $x$ de $4 x$ .

$\frac{2 (3 x + 24 + 6)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

Paso 6.7

Suma $24$ y $6$ .

$\frac{2 (3 x + 30)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

Paso 6.8

Factoriza $3$ de $3 x + 30$ .

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Paso 6.8.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$\frac{2 (3 (x) + 30)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

Paso 6.8.2

Factoriza $3$ de $30$ .

$\frac{2 (3 x + 3 \cdot 10)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

Paso 6.8.3

Factoriza $3$ de $3 x + 3 \cdot 10$ .

$\frac{2 (3 (x + 10))}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

$\frac{2 \cdot 3 (x + 10)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

Paso 6.9

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{6 (x + 10)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$