Preálgebra Ejemplos

$\frac{x + 3}{x^{2} - 2 x - 8} - \frac{x - 5}{x^{2} - 12 x + 32}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Factoriza $x^{2} - 2 x - 8$ con el método AC.

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Paso 1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 8$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 4, 2$

Paso 1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{x + 3}{(x - 4) (x + 2)} - \frac{x - 5}{x^{2} - 12 x + 32}$

Paso 1.2

Factoriza $x^{2} - 12 x + 32$ con el método AC.

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Paso 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $32$ y cuya suma es $- 12$ .

$- 8, - 4$

Paso 1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{x + 3}{(x - 4) (x + 2)} - \frac{x - 5}{(x - 8) (x - 4)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{x + 3}{(x - 4) (x + 2)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$\frac{x + 3}{(x - 4) (x + 2)} \cdot \frac{x - 8}{x - 8} - \frac{x - 5}{(x - 8) (x - 4)}$

Paso 3

Para escribir $- \frac{x - 5}{(x - 8) (x - 4)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{x + 3}{(x - 4) (x + 2)} \cdot \frac{x - 8}{x - 8} - \frac{x - 5}{(x - 8) (x - 4)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x - 4) (x + 2) (x - 8)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{x + 3}{(x - 4) (x + 2)}$ por $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$\frac{(x + 3) (x - 8)}{(x - 4) (x + 2) (x - 8)} - \frac{x - 5}{(x - 8) (x - 4)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{x - 5}{(x - 8) (x - 4)}$ por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{(x + 3) (x - 8)}{(x - 4) (x + 2) (x - 8)} - \frac{(x - 5) (x + 2)}{(x - 8) (x - 4) (x + 2)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(x - 4) (x + 2) (x - 8)$ .

$\frac{(x + 3) (x - 8)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)} - \frac{(x - 5) (x + 2)}{(x - 8) (x - 4) (x + 2)}$

Paso 4.4

Reordena los factores de $(x - 8) (x - 4) (x + 2)$ .

$\frac{(x + 3) (x - 8)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)} - \frac{(x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(x + 3) (x - 8) - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Expande $(x + 3) (x - 8)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x - 8) + 3 (x - 8) - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Paso 6.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 8 + 3 (x - 8) - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Paso 6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 8 + 3 x + 3 \cdot - 8 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Paso 6.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 8 + 3 x + 3 \cdot - 8 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Paso 6.2.1.2

Mueve $- 8$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{x^{2} - 8 \cdot x + 3 x + 3 \cdot - 8 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $3$ por $- 8$ .

$\frac{x^{2} - 8 x + 3 x - 24 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Paso 6.2.2

Suma $- 8 x$ y $3 x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 24 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - 5 x - 24 + (- x - - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Paso 6.4

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 24 + (- x + 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Paso 6.5

Expande $(- x + 5) (x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - 5 x - 24 - x (x + 2) + 5 (x + 2)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Paso 6.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - 5 x - 24 - x \cdot x - x \cdot 2 + 5 (x + 2)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Paso 6.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - 5 x - 24 - x \cdot x - x \cdot 2 + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Paso 6.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.6.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.6.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 24 - (x \cdot x) - x \cdot 2 + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Paso 6.6.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 24 - x^{2} - x \cdot 2 + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Paso 6.6.1.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 24 - x^{2} - 2 x + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Paso 6.6.1.3

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 24 - x^{2} - 2 x + 5 x + 10}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Paso 6.6.2

Suma $- 2 x$ y $5 x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 24 - x^{2} + 3 x + 10}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Paso 6.7

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- 5 x - 24 + 0 + 3 x + 10}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Paso 6.8

Suma $- 5 x$ y $0$ .

$\frac{- 5 x - 24 + 3 x + 10}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Paso 6.9

Suma $- 5 x$ y $3 x$ .

$\frac{- 2 x - 24 + 10}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Paso 6.10

Suma $- 24$ y $10$ .

$\frac{- 2 x - 14}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Paso 6.11

Factoriza $2$ de $- 2 x - 14$ .

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Paso 6.11.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) - 14}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Paso 6.11.2

Factoriza $2$ de $- 14$ .

$\frac{2 (- x) + 2 (- 7)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Paso 6.11.3

Factoriza $2$ de $2 (- x) + 2 (- 7)$ .

$\frac{2 (- x - 7)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Paso 7

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 7.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{2 (- (x) - 7)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Paso 7.2

Reescribe $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (7))}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Paso 7.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (7)$ .

$\frac{2 (- (x + 7))}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Paso 7.4

Simplifica la expresión.

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Paso 7.4.1

Reescribe $- (x + 7)$ como $- 1 (x + 7)$ .

$\frac{2 (- 1 (x + 7))}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$

Paso 7.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 (x + 7)}{(x + 2) (x - 4) (x - 8)}$