Preálgebra Ejemplos

$\frac{x - 2}{x - 8} - \frac{3 x}{4 - x} + \frac{x^{2} - 88}{x^{2} - 12 x + 32}$

Paso 1

Factoriza $x^{2} - 12 x + 32$ con el método AC.

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Paso 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $32$ y cuya suma es $- 12$ .

$- 8, - 4$

Paso 1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{x - 2}{x - 8} - \frac{3 x}{4 - x} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{x - 2}{x - 8}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4 - x}{4 - x}$ .

$\frac{x - 2}{x - 8} \cdot \frac{4 - x}{4 - x} - \frac{3 x}{4 - x} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Paso 3

Para escribir $- \frac{3 x}{4 - x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$\frac{x - 2}{x - 8} \cdot \frac{4 - x}{4 - x} - \frac{3 x}{4 - x} \cdot \frac{x - 8}{x - 8} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x - 8) (4 - x)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{x - 2}{x - 8}$ por $\frac{4 - x}{4 - x}$ .

$\frac{(x - 2) (4 - x)}{(x - 8) (4 - x)} - \frac{3 x}{4 - x} \cdot \frac{x - 8}{x - 8} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{3 x}{4 - x}$ por $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$\frac{(x - 2) (4 - x)}{(x - 8) (4 - x)} - \frac{3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(x - 8) (4 - x)$ .

$\frac{(x - 2) (4 - x)}{(4 - x) (x - 8)} - \frac{3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(x - 2) (4 - x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Expande $(x - 2) (4 - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (4 - x) - 2 (4 - x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Paso 6.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot 4 + x (- x) - 2 (4 - x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Paso 6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot 4 + x (- x) - 2 \cdot 4 - 2 (- x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Paso 6.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{4 \cdot x + x (- x) - 2 \cdot 4 - 2 (- x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Paso 6.2.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{4 x - x \cdot x - 2 \cdot 4 - 2 (- x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.1.3.1

Mueve $x$ .

$\frac{4 x - (x \cdot x) - 2 \cdot 4 - 2 (- x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Paso 6.2.1.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{4 x - x^{2} - 2 \cdot 4 - 2 (- x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$\frac{4 x - x^{2} - 8 - 2 (- x) - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Paso 6.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{4 x - x^{2} - 8 + 2 x - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Paso 6.2.2

Suma $4 x$ y $2 x$ .

$\frac{6 x - x^{2} - 8 - 3 x (x - 8)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 x - x^{2} - 8 - 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 8}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Paso 6.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.4.1

Mueve $x$ .

$\frac{6 x - x^{2} - 8 - 3 (x \cdot x) - 3 x \cdot - 8}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Paso 6.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{6 x - x^{2} - 8 - 3 x^{2} - 3 x \cdot - 8}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Paso 6.5

Multiplica $- 8$ por $- 3$ .

$\frac{6 x - x^{2} - 8 - 3 x^{2} + 24 x}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Paso 6.6

Suma $6 x$ y $24 x$ .

$\frac{- x^{2} - 8 - 3 x^{2} + 30 x}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Paso 6.7

Resta $3 x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 8 + 30 x}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Paso 6.8

Reordena los términos.

$\frac{- 4 x^{2} + 30 x - 8}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Paso 6.9

Factoriza $2$ de $- 4 x^{2} + 30 x - 8$ .

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Paso 6.9.1

Factoriza $2$ de $- 4 x^{2}$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2}) + 30 x - 8}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Paso 6.9.2

Factoriza $2$ de $30 x$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2}) + 2 (15 x) - 8}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Paso 6.9.3

Factoriza $2$ de $- 8$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2}) + 2 (15 x) + 2 (- 4)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Paso 6.9.4

Factoriza $2$ de $2 (- 2 x^{2}) + 2 (15 x)$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x) + 2 (- 4)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Paso 6.9.5

Factoriza $2$ de $2 (- 2 x^{2} + 15 x) + 2 (- 4)$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x - 4)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (x - 4)}$

Paso 7

Simplifica los términos.

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Paso 7.1

Factoriza $- 1$ de $x$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x - 4)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (- 1 (- x) - 4)}$

Paso 7.2

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x - 4)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (- 1 (- x) - 1 (4))}$

Paso 7.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- x) - 1 (4)$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x - 4)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (- 1 (- x + 4))}$

Paso 7.4

Simplifica la expresión.

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Paso 7.4.1

Mueve un negativo del denominador de $\frac{x^{2} - 88}{(x - 8) (- 1 (- x + 4))}$ al numerador.

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x - 4)}{(4 - x) (x - 8)} + \frac{- (x^{2} - 88)}{(x - 8) (- x + 4)}$

Paso 7.4.2

Reordena los términos.

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x - 4)}{(- x + 4) (x - 8)} + \frac{- (x^{2} - 88)}{(x - 8) (- x + 4)}$

Paso 7.4.3

Reordena los factores de $(x - 8) (- x + 4)$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x - 4)}{(- x + 4) (x - 8)} + \frac{- (x^{2} - 88)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Paso 7.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 (- 2 x^{2} + 15 x - 4) - (x^{2} - 88)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Paso 8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (- 2 x^{2}) + 2 (15 x) + 2 \cdot - 4 - (x^{2} - 88)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 2 (15 x) + 2 \cdot - 4 - (x^{2} - 88)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Paso 8.2.2

Multiplica $15$ por $2$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 30 x + 2 \cdot - 4 - (x^{2} - 88)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Paso 8.2.3

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 30 x - 8 - (x^{2} - 88)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Paso 8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 4 x^{2} + 30 x - 8 - x^{2} - - 88}{(- x + 4) (x - 8)}$

Paso 8.4

Multiplica $- 1$ por $- 88$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 30 x - 8 - x^{2} + 88}{(- x + 4) (x - 8)}$

Paso 8.5

Resta $x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$\frac{- 5 x^{2} + 30 x - 8 + 88}{(- x + 4) (x - 8)}$

Paso 8.6

Suma $- 8$ y $88$ .

$\frac{- 5 x^{2} + 30 x + 80}{(- x + 4) (x - 8)}$

Paso 8.7

Reescribe $- 5 x^{2} + 30 x + 80$ en forma factorizada.

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Paso 8.7.1

Factoriza $5$ de $- 5 x^{2} + 30 x + 80$ .

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Paso 8.7.1.1

Factoriza $5$ de $- 5 x^{2}$ .

$\frac{5 (- x^{2}) + 30 x + 80}{(- x + 4) (x - 8)}$

Paso 8.7.1.2

Factoriza $5$ de $30 x$ .

$\frac{5 (- x^{2}) + 5 (6 x) + 80}{(- x + 4) (x - 8)}$

Paso 8.7.1.3

Factoriza $5$ de $80$ .

$\frac{5 (- x^{2}) + 5 (6 x) + 5 (16)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Paso 8.7.1.4

Factoriza $5$ de $5 (- x^{2}) + 5 (6 x)$ .

$\frac{5 (- x^{2} + 6 x) + 5 (16)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Paso 8.7.1.5

Factoriza $5$ de $5 (- x^{2} + 6 x) + 5 (16)$ .

$\frac{5 (- x^{2} + 6 x + 16)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Paso 8.7.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 8.7.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 16 = - 16$ y cuya suma es $b = 6$ .

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Paso 8.7.2.1.1

Factoriza $6$ de $6 x$ .

$\frac{5 (- x^{2} + 6 (x) + 16)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Paso 8.7.2.1.2

Reescribe $6$ como $- 2$ más $8$

$\frac{5 (- x^{2} + (- 2 + 8) x + 16)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Paso 8.7.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 (- x^{2} - 2 x + 8 x + 16)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Paso 8.7.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 8.7.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{5 ((- x^{2} - 2 x) + 8 x + 16)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Paso 8.7.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{5 (x (- x - 2) - 8 (- x - 2))}{(- x + 4) (x - 8)}$

Paso 8.7.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x - 2$ .

$\frac{5 ((- x - 2) (x - 8))}{(- x + 4) (x - 8)}$

$\frac{5 (- x - 2) (x - 8)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Paso 9

Simplifica los términos.

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Paso 9.1

Cancela el factor común de $x - 8$ .

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Paso 9.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 (- x - 2) (x - 8)}{(- x + 4) (x - 8)}$

Paso 9.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{5 (- x - 2)}{- x + 4}$

Paso 9.2

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{5 (- (x) - 2)}{- x + 4}$

Paso 9.3

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{5 (- (x) - 1 (2))}{- x + 4}$

Paso 9.4

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (2)$ .

$\frac{5 (- (x + 2))}{- x + 4}$

Paso 9.5

Reescribe $- (x + 2)$ como $- 1 (x + 2)$ .

$\frac{5 (- 1 (x + 2))}{- x + 4}$

Paso 9.6

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{5 (- 1 (x + 2))}{- (x) + 4}$

Paso 9.7

Reescribe $4$ como $- 1 (- 4)$ .

$\frac{5 (- 1 (x + 2))}{- (x) - 1 (- 4)}$

Paso 9.8

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{5 (- 1 (x + 2))}{- (x - 4)}$

Paso 9.9

Reescribe $- (x - 4)$ como $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{5 (- 1 (x + 2))}{- 1 (x - 4)}$

Paso 9.10

Cancela el factor común.

$\frac{5 (- 1 (x + 2))}{- 1 (x - 4)}$

Paso 9.11

Reescribe la expresión.

$\frac{5 (x + 2)}{x - 4}$