Preálgebra Ejemplos

$\frac{2 k^{2} + 3 k - 2}{6 k^{2} - 7 k + 2} \cdot \frac{4 k^{2} - 5 k + 1}{k^{2} + k - 2}$

Paso 1

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ y cuya suma es $b = 3$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $3$ de $3 k$ .

$\frac{2 k^{2} + 3 (k) - 2}{6 k^{2} - 7 k + 2} \cdot \frac{4 k^{2} - 5 k + 1}{k^{2} + k - 2}$

Paso 1.1.2

Reescribe $3$ como $- 1$ más $4$

$\frac{2 k^{2} + (- 1 + 4) k - 2}{6 k^{2} - 7 k + 2} \cdot \frac{4 k^{2} - 5 k + 1}{k^{2} + k - 2}$

Paso 1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 k^{2} - 1 k + 4 k - 2}{6 k^{2} - 7 k + 2} \cdot \frac{4 k^{2} - 5 k + 1}{k^{2} + k - 2}$

Paso 1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(2 k^{2} - 1 k) + 4 k - 2}{6 k^{2} - 7 k + 2} \cdot \frac{4 k^{2} - 5 k + 1}{k^{2} + k - 2}$

Paso 1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{k (2 k - 1) + 2 (2 k - 1)}{6 k^{2} - 7 k + 2} \cdot \frac{4 k^{2} - 5 k + 1}{k^{2} + k - 2}$

Paso 1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 k - 1$ .

$\frac{(2 k - 1) (k + 2)}{6 k^{2} - 7 k + 2} \cdot \frac{4 k^{2} - 5 k + 1}{k^{2} + k - 2}$

Paso 2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 6 \cdot 2 = 12$ y cuya suma es $b = - 7$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $- 7$ de $- 7 k$ .

$\frac{(2 k - 1) (k + 2)}{6 k^{2} - 7 (k) + 2} \cdot \frac{4 k^{2} - 5 k + 1}{k^{2} + k - 2}$

Paso 2.1.2

Reescribe $- 7$ como $- 3$ más $- 4$

$\frac{(2 k - 1) (k + 2)}{6 k^{2} + (- 3 - 4) k + 2} \cdot \frac{4 k^{2} - 5 k + 1}{k^{2} + k - 2}$

Paso 2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 k - 1) (k + 2)}{6 k^{2} - 3 k - 4 k + 2} \cdot \frac{4 k^{2} - 5 k + 1}{k^{2} + k - 2}$

Paso 2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(2 k - 1) (k + 2)}{(6 k^{2} - 3 k) - 4 k + 2} \cdot \frac{4 k^{2} - 5 k + 1}{k^{2} + k - 2}$

Paso 2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(2 k - 1) (k + 2)}{3 k (2 k - 1) - 2 (2 k - 1)} \cdot \frac{4 k^{2} - 5 k + 1}{k^{2} + k - 2}$

Paso 2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 k - 1$ .

$\frac{(2 k - 1) (k + 2)}{(2 k - 1) (3 k - 2)} \cdot \frac{4 k^{2} - 5 k + 1}{k^{2} + k - 2}$

Paso 3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot 1 = 4$ y cuya suma es $b = - 5$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $- 5$ de $- 5 k$ .

$\frac{(2 k - 1) (k + 2)}{(2 k - 1) (3 k - 2)} \cdot \frac{4 k^{2} - 5 (k) + 1}{k^{2} + k - 2}$

Paso 3.1.2

Reescribe $- 5$ como $- 1$ más $- 4$

$\frac{(2 k - 1) (k + 2)}{(2 k - 1) (3 k - 2)} \cdot \frac{4 k^{2} + (- 1 - 4) k + 1}{k^{2} + k - 2}$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 k - 1) (k + 2)}{(2 k - 1) (3 k - 2)} \cdot \frac{4 k^{2} - 1 k - 4 k + 1}{k^{2} + k - 2}$

Paso 3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(2 k - 1) (k + 2)}{(2 k - 1) (3 k - 2)} \cdot \frac{(4 k^{2} - 1 k) - 4 k + 1}{k^{2} + k - 2}$

Paso 3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(2 k - 1) (k + 2)}{(2 k - 1) (3 k - 2)} \cdot \frac{k (4 k - 1) - (4 k - 1)}{k^{2} + k - 2}$

Paso 3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 k - 1$ .

$\frac{(2 k - 1) (k + 2)}{(2 k - 1) (3 k - 2)} \cdot \frac{(4 k - 1) (k - 1)}{k^{2} + k - 2}$

Paso 4

Factoriza $k^{2} + k - 2$ con el método AC.

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Paso 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $1$ .

$- 1, 2$

Paso 4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(2 k - 1) (k + 2)}{(2 k - 1) (3 k - 2)} \cdot \frac{(4 k - 1) (k - 1)}{(k - 1) (k + 2)}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Cancela el factor común de $k + 2$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $k + 2$ de $(2 k - 1) (k + 2)$ .

$\frac{(k + 2) (2 k - 1)}{(2 k - 1) (3 k - 2)} \cdot \frac{(4 k - 1) (k - 1)}{(k - 1) (k + 2)}$

Paso 5.1.2

Factoriza $k + 2$ de $(k - 1) (k + 2)$ .

$\frac{(k + 2) (2 k - 1)}{(2 k - 1) (3 k - 2)} \cdot \frac{(4 k - 1) (k - 1)}{(k + 2) (k - 1)}$

Paso 5.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{(k + 2) (2 k - 1)}{(2 k - 1) (3 k - 2)} \cdot \frac{(4 k - 1) (k - 1)}{(k + 2) (k - 1)}$

Paso 5.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{2 k - 1}{(2 k - 1) (3 k - 2)} \cdot \frac{(4 k - 1) (k - 1)}{k - 1}$

Paso 5.2

Multiplica $\frac{2 k - 1}{(2 k - 1) (3 k - 2)}$ por $\frac{(4 k - 1) (k - 1)}{k - 1}$ .

$\frac{(2 k - 1) ((4 k - 1) (k - 1))}{(2 k - 1) (3 k - 2) (k - 1)}$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $2 k - 1$ .

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Paso 5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{(2 k - 1) ((4 k - 1) (k - 1))}{(2 k - 1) (3 k - 2) (k - 1)}$

Paso 5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(4 k - 1) (k - 1)}{(3 k - 2) (k - 1)}$

Paso 5.4

Cancela el factor común de $k - 1$ .

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Paso 5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(4 k - 1) (k - 1)}{(3 k - 2) (k - 1)}$

Paso 5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4 k - 1}{3 k - 2}$