Preálgebra Ejemplos

$\frac{1}{x^{2} - 9 x + 20} - \frac{5}{x^{2} - 10 x + 25}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Factoriza $x^{2} - 9 x + 20$ con el método AC.

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Paso 1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $20$ y cuya suma es $- 9$ .

$- 5, - 4$

Paso 1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{1}{(x - 5) (x - 4)} - \frac{5}{x^{2} - 10 x + 25}$

Paso 1.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.2.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{1}{(x - 5) (x - 4)} - \frac{5}{x^{2} - 10 x + 5^{2}}$

Paso 1.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Paso 1.2.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{1}{(x - 5) (x - 4)} - \frac{5}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}}$

Paso 1.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$\frac{1}{(x - 5) (x - 4)} - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 2

Para escribir $\frac{1}{(x - 5) (x - 4)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{1}{(x - 5) (x - 4)} \cdot \frac{x - 5}{x - 5} - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 3

Para escribir $- \frac{5}{{(x - 5)}^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{1}{(x - 5) (x - 4)} \cdot \frac{x - 5}{x - 5} - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x - 4) {(x - 5)}^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{1}{(x - 5) (x - 4)}$ por $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{x - 5}{(x - 5) (x - 4) (x - 5)} - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}$

Paso 4.2

Eleva $x - 5$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x - 5}{{(x - 5)}^{1} (x - 5) (x - 4)} - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}$

Paso 4.3

Eleva $x - 5$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x - 5}{{(x - 5)}^{1} {(x - 5)}^{1} (x - 4)} - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}$

Paso 4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x - 5}{{(x - 5)}^{1 + 1} (x - 4)} - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}$

Paso 4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x - 5}{{(x - 5)}^{2} (x - 4)} - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}$

Paso 4.6

Multiplica $\frac{5}{{(x - 5)}^{2}}$ por $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{x - 5}{{(x - 5)}^{2} (x - 4)} - \frac{5 (x - 4)}{{(x - 5)}^{2} (x - 4)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x - 5 - 5 (x - 4)}{{(x - 5)}^{2} (x - 4)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x - 5 - 5 x - 5 \cdot - 4}{{(x - 5)}^{2} (x - 4)}$

Paso 6.2

Multiplica $- 5$ por $- 4$ .

$\frac{x - 5 - 5 x + 20}{{(x - 5)}^{2} (x - 4)}$

Paso 6.3

Resta $5 x$ de $x$ .

$\frac{- 4 x - 5 + 20}{{(x - 5)}^{2} (x - 4)}$

Paso 6.4

Suma $- 5$ y $20$ .

$\frac{- 4 x + 15}{{(x - 5)}^{2} (x - 4)}$

Paso 7

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 7.1

Factoriza $- 1$ de $- 4 x$ .

$\frac{- (4 x) + 15}{{(x - 5)}^{2} (x - 4)}$

Paso 7.2

Reescribe $15$ como $- 1 (- 15)$ .

$\frac{- (4 x) - 1 (- 15)}{{(x - 5)}^{2} (x - 4)}$

Paso 7.3

Factoriza $- 1$ de $- (4 x) - 1 (- 15)$ .

$\frac{- (4 x - 15)}{{(x - 5)}^{2} (x - 4)}$

Paso 7.4

Simplifica la expresión.

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Paso 7.4.1

Reescribe $- (4 x - 15)$ como $- 1 (4 x - 15)$ .

$\frac{- 1 (4 x - 15)}{{(x - 5)}^{2} (x - 4)}$

Paso 7.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4 x - 15}{{(x - 5)}^{2} (x - 4)}$