Preálgebra Ejemplos

$\frac{a^{2} - 36}{4 a^{2} + 4 a b} \cdot \frac{a^{2} + 2 a + a b + 2 b}{a^{2} + 8 a + 12}$

Paso 1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{a^{2} - 6^{2}}{4 a^{2} + 4 a b} \cdot \frac{a^{2} + 2 a + a b + 2 b}{a^{2} + 8 a + 12}$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = a$ y $b = 6$ .

$\frac{(a + 6) (a - 6)}{4 a^{2} + 4 a b} \cdot \frac{a^{2} + 2 a + a b + 2 b}{a^{2} + 8 a + 12}$

Paso 2

Factoriza $4 a$ de $4 a^{2} + 4 a b$ .

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Paso 2.1

Factoriza $4 a$ de $4 a^{2}$ .

$\frac{(a + 6) (a - 6)}{4 a (a) + 4 a b} \cdot \frac{a^{2} + 2 a + a b + 2 b}{a^{2} + 8 a + 12}$

Paso 2.2

Factoriza $4 a$ de $4 a b$ .

$\frac{(a + 6) (a - 6)}{4 a (a) + 4 a (b)} \cdot \frac{a^{2} + 2 a + a b + 2 b}{a^{2} + 8 a + 12}$

Paso 2.3

Factoriza $4 a$ de $4 a (a) + 4 a (b)$ .

$\frac{(a + 6) (a - 6)}{4 a (a + b)} \cdot \frac{a^{2} + 2 a + a b + 2 b}{a^{2} + 8 a + 12}$

Paso 3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(a + 6) (a - 6)}{4 a (a + b)} \cdot \frac{(a^{2} + 2 a) + a b + 2 b}{a^{2} + 8 a + 12}$

Paso 3.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(a + 6) (a - 6)}{4 a (a + b)} \cdot \frac{a (a + 2) + b (a + 2)}{a^{2} + 8 a + 12}$

Paso 3.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $a + 2$ .

$\frac{(a + 6) (a - 6)}{4 a (a + b)} \cdot \frac{(a + 2) (a + b)}{a^{2} + 8 a + 12}$

Paso 4

Factoriza $a^{2} + 8 a + 12$ con el método AC.

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Paso 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $12$ y cuya suma es $8$ .

$2, 6$

Paso 4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(a + 6) (a - 6)}{4 a (a + b)} \cdot \frac{(a + 2) (a + b)}{(a + 2) (a + 6)}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Cancela el factor común de $a + 6$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $a + 6$ de $(a + 2) (a + 6)$ .

$\frac{(a + 6) (a - 6)}{4 a (a + b)} \cdot \frac{(a + 2) (a + b)}{(a + 6) (a + 2)}$

Paso 5.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{(a + 6) (a - 6)}{4 a (a + b)} \cdot \frac{(a + 2) (a + b)}{(a + 6) (a + 2)}$

Paso 5.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{a - 6}{4 a (a + b)} \cdot \frac{(a + 2) (a + b)}{a + 2}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $a + b$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $a + b$ de $4 a (a + b)$ .

$\frac{a - 6}{(a + b) (4 a)} \cdot \frac{(a + 2) (a + b)}{a + 2}$

Paso 5.2.2

Factoriza $a + b$ de $(a + 2) (a + b)$ .

$\frac{a - 6}{(a + b) (4 a)} \cdot \frac{(a + b) (a + 2)}{a + 2}$

Paso 5.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{a - 6}{(a + b) (4 a)} \cdot \frac{(a + b) (a + 2)}{a + 2}$

Paso 5.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{a - 6}{4 a} \cdot \frac{a + 2}{a + 2}$

Paso 5.3

Multiplica $\frac{a - 6}{4 a}$ por $\frac{a + 2}{a + 2}$ .

$\frac{(a - 6) (a + 2)}{4 a (a + 2)}$

Paso 5.4

Cancela el factor común de $a + 2$ .

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Paso 5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(a - 6) (a + 2)}{4 a (a + 2)}$

Paso 5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{a - 6}{4 a}$