Preálgebra Ejemplos

$\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ por $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$ .

$\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Paso 1.2

Multiplica $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ por $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$ .

$\frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Paso 1.3

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{{\sqrt{a}}^{2} - \sqrt{a b} + \sqrt{b a} - {\sqrt{b}}^{2}} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Paso 1.4

Simplifica.

$\frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Paso 1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.5.1

Eleva $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{1} (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Paso 1.5.2

Eleva $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{1} {(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{1}}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Paso 1.5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{1 + 1}}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Paso 1.5.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2}}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Paso 1.6

Reescribe ${(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2}$ como $(\sqrt{a} - \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})$ .

$\frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Paso 1.7

Expande $(\sqrt{a} - \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{a} (\sqrt{a} - \sqrt{b}) - \sqrt{b} (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Paso 1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{a} \sqrt{a} + \sqrt{a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Paso 1.7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{a} \sqrt{a} + \sqrt{a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Paso 1.8

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.8.1.1

Multiplica $\sqrt{a} \sqrt{a}$ .

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Paso 1.8.1.1.1

Eleva $\sqrt{a}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{\sqrt{a}}^{1} \sqrt{a} + \sqrt{a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Paso 1.8.1.1.2

Eleva $\sqrt{a}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{\sqrt{a}}^{1} {\sqrt{a}}^{1} + \sqrt{a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Paso 1.8.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{\sqrt{a}}^{1 + 1} + \sqrt{a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Paso 1.8.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{\sqrt{a}}^{2} + \sqrt{a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Paso 1.8.1.2

Reescribe ${\sqrt{a}}^{2}$ como $a$ .

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Paso 1.8.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{a}$ como $a^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(a^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Paso 1.8.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{a^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Paso 1.8.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{a^{\frac{2}{2}} + \sqrt{a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Paso 1.8.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.8.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{a^{\frac{2}{2}} + \sqrt{a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Paso 1.8.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{a^{1} + \sqrt{a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Paso 1.8.1.2.5

Simplifica.

$\frac{a + \sqrt{a} (- \sqrt{b}) - \sqrt{b} \sqrt{a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Paso 1.8.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{a - \sqrt{a} \sqrt{b} - \sqrt{b} \sqrt{a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Paso 1.8.1.4

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{b} \sqrt{a} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Paso 1.8.1.5

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{a b} - \sqrt{b} (- \sqrt{b})}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Paso 1.8.1.6

Multiplica $- \sqrt{b} (- \sqrt{b})$ .

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Paso 1.8.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{a b} + 1 \sqrt{b} \sqrt{b}}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Paso 1.8.1.6.2

Multiplica $\sqrt{b}$ por $1$ .

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{a b} + \sqrt{b} \sqrt{b}}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Paso 1.8.1.6.3

Eleva $\sqrt{b}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{a b} + {\sqrt{b}}^{1} \sqrt{b}}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Paso 1.8.1.6.4

Eleva $\sqrt{b}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{a b} + {\sqrt{b}}^{1} {\sqrt{b}}^{1}}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Paso 1.8.1.6.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{a b} + {\sqrt{b}}^{1 + 1}}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Paso 1.8.1.6.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{a b} + {\sqrt{b}}^{2}}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Paso 1.8.1.7

Reescribe ${\sqrt{b}}^{2}$ como $b$ .

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Paso 1.8.1.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{b}$ como $b^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{a b} + {(b^{\frac{1}{2}})}^{2}}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Paso 1.8.1.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{a b} + b^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Paso 1.8.1.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{a b} + b^{\frac{2}{2}}}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Paso 1.8.1.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.8.1.7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{a b} + b^{\frac{2}{2}}}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Paso 1.8.1.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{a b} + b^{1}}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Paso 1.8.1.7.5

Simplifica.

$\frac{a - \sqrt{b a} - \sqrt{a b} + b}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Paso 1.8.2

Resta $\sqrt{a b}$ de $- \sqrt{b a}$ .

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Paso 1.8.2.1

Reordena $b$ y $a$ .

$\frac{a - \sqrt{a b} - \sqrt{a b} + b}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Paso 1.8.2.2

Resta $\sqrt{a b}$ de $- \sqrt{a b}$ .

$\frac{a - 2 \sqrt{a b} + b}{a - b} + \frac{a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{a - 2 \sqrt{a b} + b + a + 2 \sqrt{a b} + b}{a - b}$

Paso 2.2

Combina los términos opuestos en $a - 2 \sqrt{a b} + b + a + 2 \sqrt{a b} + b$ .

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Paso 2.2.1

Suma $- 2 \sqrt{a b}$ y $2 \sqrt{a b}$ .

$\frac{a + b + a + 0 + b}{a - b}$

Paso 2.2.2

Suma $a + b + a$ y $0$ .

$\frac{a + b + a + b}{a - b}$

Paso 2.3

Suma $a$ y $a$ .

$\frac{2 a + b + b}{a - b}$

Paso 2.4

Suma $b$ y $b$ .

$\frac{2 a + 2 b}{a - b}$

Paso 2.5

Factoriza $2$ de $2 a + 2 b$ .

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Paso 2.5.1

Factoriza $2$ de $2 a$ .

$\frac{2 (a) + 2 b}{a - b}$

Paso 2.5.2

Factoriza $2$ de $2 b$ .

$\frac{2 (a) + 2 (b)}{a - b}$

Paso 2.5.3

Factoriza $2$ de $2 (a) + 2 (b)$ .

$\frac{2 (a + b)}{a - b}$