Preálgebra Ejemplos

$3 x^{2} - 11 x > 20$

Paso 1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$3 x^{2} - 11 x = 20$

Paso 2

Resta $20$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} - 11 x - 20 = 0$

Paso 3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 20 = - 60$ y cuya suma es $b = - 11$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $- 11$ de $- 11 x$ .

$3 x^{2} - 11 x - 20 = 0$

Paso 3.1.2

Reescribe $- 11$ como $4$ más $- 15$

$3 x^{2} + (4 - 15) x - 20 = 0$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} + 4 x - 15 x - 20 = 0$

Paso 3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(3 x^{2} + 4 x) - 15 x - 20 = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (3 x + 4) - 5 (3 x + 4) = 0$

Paso 3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x + 4$ .

$(3 x + 4) (x - 5) = 0$

Paso 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 x + 4 = 0$

$x - 5 = 0$

Paso 5

Establece $3 x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $3 x + 4$ igual a $0$ .

$3 x + 4 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $3 x + 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 4$

Paso 5.2.2

Divide cada término en $3 x = - 4$ por $3$ y simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Divide cada término en $3 x = - 4$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Paso 5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Paso 5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{4}{3}$

Paso 6

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 6.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 x + 4) (x - 5) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{4}{3}, 5$

Paso 8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - \frac{4}{3}$

$- \frac{4}{3} < x < 5$

$x > 5$

Paso 9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 9.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - \frac{4}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - \frac{4}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 9.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$3 {(- 4)}^{2} - 11 \cdot - 4 > 20$

Paso 9.1.3

$92$ del lado izquierdo es mayor que $20$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 9.2

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{4}{3} < x < 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{4}{3} < x < 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 9.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$3 {(0)}^{2} - 11 \cdot 0 > 20$

Paso 9.2.3

$0$ del lado izquierdo no es mayor que $20$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 9.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 9.3.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

$3 {(8)}^{2} - 11 \cdot 8 > 20$

Paso 9.3.3

$104$ del lado izquierdo es mayor que $20$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 9.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - \frac{4}{3}$ Verdadero

$- \frac{4}{3} < x < 5$ Falso

$x > 5$ Verdadero

$x < - \frac{4}{3}$ Verdadero

$- \frac{4}{3} < x < 5$ Falso

$x > 5$ Verdadero

Paso 10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - \frac{4}{3}$ o $x > 5$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x < - \frac{4}{3} or x > 5$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - \frac{4}{3}) \cup (5, \infty)$

Paso 12