Preálgebra Ejemplos

$2 x^{2} + 3 x - 5 > 0$

Paso 1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$2 x^{2} + 3 x - 5 = 0$

Paso 2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 5 = - 10$ y cuya suma es $b = 3$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$2 x^{2} + 3 (x) - 5 = 0$

Paso 2.1.2

Reescribe $3$ como $- 2$ más $5$

$2 x^{2} + (- 2 + 5) x - 5 = 0$

Paso 2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} - 2 x + 5 x - 5 = 0$

Paso 2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(2 x^{2} - 2 x) + 5 x - 5 = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$2 x (x - 1) + 5 (x - 1) = 0$

Paso 2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x - 1$ .

$(x - 1) (2 x + 5) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$2 x + 5 = 0$

Paso 4

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 4.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 5

Establece $2 x + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $2 x + 5$ igual a $0$ .

$2 x + 5 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $2 x + 5 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 5$

Paso 5.2.2

Divide cada término en $2 x = - 5$ por $2$ y simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Divide cada término en $2 x = - 5$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Paso 5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Paso 5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{5}{2}$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 1) (2 x + 5) = 0$ verdadera.

$x = 1, - \frac{5}{2}$

Paso 7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - \frac{5}{2}$

$- \frac{5}{2} < x < 1$

$x > 1$

Paso 8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - \frac{5}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - \frac{5}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 5$

Paso 8.1.2

Reemplaza $x$ con $- 5$ en la desigualdad original.

$2 {(- 5)}^{2} + 3 (- 5) - 5 > 0$

Paso 8.1.3

$30$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 8.2

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{5}{2} < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{5}{2} < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 8.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$2 {(0)}^{2} + 3 (0) - 5 > 0$

Paso 8.2.3

$- 5$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 8.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$2 {(4)}^{2} + 3 (4) - 5 > 0$

Paso 8.3.3

$39$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - \frac{5}{2}$ Verdadero

$- \frac{5}{2} < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadero

$x < - \frac{5}{2}$ Verdadero

$- \frac{5}{2} < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadero

Paso 9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - \frac{5}{2}$ o $x > 1$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x < - \frac{5}{2} or x > 1$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - \frac{5}{2}) \cup (1, \infty)$

Paso 11