Preálgebra Ejemplos

$\ln (4 x) + 2 \ln (x) = 1.5$

Paso 1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (4 x) + 2 \ln (x) = 1.5$

Paso 2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Simplifica $\ln (4 x) + 2 \ln (x)$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica $2 \ln (x)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\ln (4 x) + \ln (x^{2}) = 1.5$

Paso 2.1.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (4 x \cdot x^{2}) = 1.5$

Paso 2.1.3

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.3.1

Mueve $x^{2}$ .

$\ln (4 (x^{2} x)) = 1.5$

Paso 2.1.3.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 2.1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\ln (4 (x^{2} x^{1})) = 1.5$

Paso 2.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\ln (4 x^{2 + 1}) = 1.5$

Paso 2.1.3.3

Suma $2$ y $1$ .

$\ln (4 x^{3}) = 1.5$

Paso 3

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (4 x^{3})} = e^{1.5}$

Paso 4

Reescribe $\ln (4 x^{3}) = 1.5$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{1.5} = 4 x^{3}$

Paso 5

Resuelve $x$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $4 x^{3} = e^{1.5}$ .

$4 x^{3} = e^{1.5}$

Paso 5.2

Divide cada término en $4 x^{3} = e^{1.5}$ por $4$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $4 x^{3} = e^{1.5}$ por $4$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{e^{1.5}}{4}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{e^{1.5}}{4}$

Paso 5.2.2.1.2

Divide $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} = \frac{e^{1.5}}{4}$

Paso 5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{\frac{e^{1.5}}{4}}$

Paso 5.4

Simplifica $\sqrt[3]{\frac{e^{1.5}}{4}}$ .

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Paso 5.4.1

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{e^{1.5}}{4}}$ como $\frac{\sqrt[3]{e^{1.5}}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}}}{\sqrt[3]{4}}$

Paso 5.4.2

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{e^{1.5}}}{\sqrt[3]{4}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Paso 5.4.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.4.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{e^{1.5}}}{\sqrt[3]{4}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Paso 5.4.3.2

Eleva $\sqrt[3]{4}$ a la potencia de $1$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Paso 5.4.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Paso 5.4.3.4

Suma $1$ y $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Paso 5.4.3.5

Reescribe ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ como $4$ .

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Paso 5.4.3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{4}$ como $4^{\frac{1}{3}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 5.4.3.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 5.4.3.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Paso 5.4.3.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.4.3.5.4.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Paso 5.4.3.5.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Paso 5.4.3.5.5

Evalúa el exponente.

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Paso 5.4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 5.4.4.1

Reescribe ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ como $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Paso 5.4.4.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} \sqrt[3]{16}}{4}$

Paso 5.4.4.3

Reescribe $16$ como $2^{3} \cdot 2$ .

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Paso 5.4.4.3.1

Factoriza $8$ de $16$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Paso 5.4.4.3.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Paso 5.4.4.4

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Paso 5.4.4.5

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{e^{1.5} \cdot 2}}{4}$

Paso 5.4.5

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.4.5.1

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 5.4.5.1.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt[3]{e^{1.5} \cdot 2}$ .

$x = \frac{2 (\sqrt[3]{e^{1.5} \cdot 2})}{4}$

Paso 5.4.5.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.5.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = \frac{2 \sqrt[3]{e^{1.5} \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.4.5.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{e^{1.5} \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.4.5.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5} \cdot 2}}{2}$

Paso 5.4.5.2

Reordena los factores en $\frac{\sqrt[3]{e^{1.5} \cdot 2}}{2}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{2 e^{1.5}}}{2}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{\sqrt[3]{2 e^{1.5}}}{2}$

Forma decimal:

$x = 1.03862931 \dots$