Preálgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} + 2 x - 24} > 0$

Paso 1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x^{2} - 2 x + 1 = 0$

$x^{2} + 2 x - 24 = 0$

Paso 2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$x^{2} - 2 x + 1^{2} = 0$

Paso 2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Paso 2.3

Reescribe el polinomio.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Paso 2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Paso 3

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 4

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 5

Factoriza $x^{2} + 2 x - 24$ con el método AC.

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Paso 5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 24$ y cuya suma es $2$ .

$- 4, 6$

Paso 5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 4) (x + 6) = 0$

Paso 6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 6 = 0$

Paso 7

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 7.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 8

Establece $x + 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.1

Establece $x + 6$ igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Paso 8.2

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 6$

Paso 9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 4) (x + 6) = 0$ verdadera.

$x = 4, - 6$

Paso 10

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 1$

$x = 4, - 6$

Paso 11

Consolida las soluciones.

$x = 1, 4, - 6$

Paso 12

Obtén el dominio de $\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} + 2 x - 24}$ .

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Paso 12.1

Establece el denominador en $\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} + 2 x - 24}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} + 2 x - 24 = 0$

Paso 12.2

Resuelve $x$

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Paso 12.2.1

Factoriza $x^{2} + 2 x - 24$ con el método AC.

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Paso 12.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 24$ y cuya suma es $2$ .

$- 4, 6$

Paso 12.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 4) (x + 6) = 0$

Paso 12.2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 6 = 0$

Paso 12.2.3

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 12.2.3.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 12.2.3.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 12.2.4

Establece $x + 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 12.2.4.1

Establece $x + 6$ igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Paso 12.2.4.2

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 6$

Paso 12.2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 4) (x + 6) = 0$ verdadera.

$x = 4, - 6$

Paso 12.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 4) \cup (4, \infty)$

Paso 13

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 6$

$- 6 < x < 1$

$1 < x < 4$

$x > 4$

Paso 14

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 14.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 14.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 8$

Paso 14.1.2

Reemplaza $x$ con $- 8$ en la desigualdad original.

$\frac{{(- 8)}^{2} - 2 \cdot - 8 + 1}{{(- 8)}^{2} + 2 (- 8) - 24} > 0$

Paso 14.1.3

$3.375$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 14.2

Prueba un valor en el intervalo $- 6 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 14.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 6 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 14.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{{(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 1}{{(0)}^{2} + 2 (0) - 24} > 0$

Paso 14.2.3

$- 0.041\overline{6}$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 14.3

Prueba un valor en el intervalo $1 < x < 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 14.3.1

Elije un valor en el intervalo $1 < x < 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 14.3.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$\frac{{(2)}^{2} - 2 \cdot 2 + 1}{{(2)}^{2} + 2 (2) - 24} > 0$

Paso 14.3.3

$- 0.0625$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 14.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 14.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 14.4.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$\frac{{(6)}^{2} - 2 \cdot 6 + 1}{{(6)}^{2} + 2 (6) - 24} > 0$

Paso 14.4.3

$1.041\overline{6}$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 14.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 6$ Verdadero

$- 6 < x < 1$ Falso

$1 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Verdadero

$x < - 6$ Verdadero

$- 6 < x < 1$ Falso

$1 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Verdadero

Paso 15

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 6$ o $x > 4$

Paso 16

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x < - 6 or x > 4$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 6) \cup (4, \infty)$

Paso 17