Preálgebra Ejemplos

$2^{2 x + 2} \cdot 3^{x + 1} = 14$

Paso 1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (2^{2 x + 2} \cdot 3^{x + 1}) = \ln (14)$

Paso 2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Reescribe $\ln (2^{2 x + 2} \cdot 3^{x + 1})$ como $\ln (2^{2 x + 2}) + \ln (3^{x + 1})$ .

$\ln (2^{2 x + 2}) + \ln (3^{x + 1}) = \ln (14)$

Paso 2.2

Expande $\ln (2^{2 x + 2})$ ; para ello, mueve $2 x + 2$ fuera del logaritmo.

$(2 x + 2) \ln (2) + \ln (3^{x + 1}) = \ln (14)$

Paso 2.3

Expande $\ln (3^{x + 1})$ ; para ello, mueve $x + 1$ fuera del logaritmo.

$(2 x + 2) \ln (2) + (x + 1) \ln (3) = \ln (14)$

Paso 3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x \ln (2) + 2 \ln (2) + (x + 1) \ln (3) = \ln (14)$

Paso 3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x \ln (2) + 2 \ln (2) + x \ln (3) + 1 \ln (3) = \ln (14)$

Paso 3.1.3

Multiplica $\ln (3)$ por $1$ .

$2 x \ln (2) + 2 \ln (2) + x \ln (3) + \ln (3) = \ln (14)$

Paso 4

Mueve $2 \ln (2)$ .

$2 x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) + \ln (3) = \ln (14)$

Paso 5

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$2 x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) + \ln (3) - \ln (14) = 0$

Paso 6

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 x \ln (2) + x \ln (3) + 2 \ln (2) + \ln (\frac{3}{14}) = 0$

Paso 7

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 7.1

Resta $2 \ln (2)$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (\frac{3}{14}) = - 2 \ln (2)$

Paso 7.2

Resta $\ln (\frac{3}{14})$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x \ln (2) + x \ln (3) = - 2 \ln (2) - \ln (\frac{3}{14})$

Paso 8

Factoriza $x$ de $2 x \ln (2) + x \ln (3)$ .

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Paso 8.1

Factoriza $x$ de $2 x \ln (2)$ .

$x (2 \ln (2)) + x \ln (3) = - 2 \ln (2) - \ln (\frac{3}{14})$

Paso 8.2

Factoriza $x$ de $x \ln (3)$ .

$x (2 \ln (2)) + x (\ln (3)) = - 2 \ln (2) - \ln (\frac{3}{14})$

Paso 8.3

Factoriza $x$ de $x (2 \ln (2)) + x (\ln (3))$ .

$x (2 \ln (2) + \ln (3)) = - 2 \ln (2) - \ln (\frac{3}{14})$

Paso 9

Divide cada término en $x (2 \ln (2) + \ln (3)) = - 2 \ln (2) - \ln (\frac{3}{14})$ por $2 \ln (2) + \ln (3)$ y simplifica.

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Paso 9.1

Divide cada término en $x (2 \ln (2) + \ln (3)) = - 2 \ln (2) - \ln (\frac{3}{14})$ por $2 \ln (2) + \ln (3)$ .

$\frac{x (2 \ln (2) + \ln (3))}{2 \ln (2) + \ln (3)} = \frac{- 2 \ln (2)}{2 \ln (2) + \ln (3)} + \frac{- \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Paso 9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común de $2 \ln (2) + \ln (3)$ .

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Paso 9.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (2 \ln (2) + \ln (3))}{2 \ln (2) + \ln (3)} = \frac{- 2 \ln (2)}{2 \ln (2) + \ln (3)} + \frac{- \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Paso 9.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \ln (2)}{2 \ln (2) + \ln (3)} + \frac{- \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Paso 9.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{2 \ln (2)}{2 \ln (2) + \ln (3)} + \frac{- \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Paso 9.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{2 \ln (2)}{2 \ln (2) + \ln (3)} - \frac{\ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Paso 9.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 9.3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{- 2 \ln (2) - \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Paso 9.3.2.2

Factoriza $- 1$ de $- 2 \ln (2)$ .

$x = \frac{- (2 \ln (2)) - \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Paso 9.3.2.3

Factoriza $- 1$ de $- \ln (\frac{3}{14})$ .

$x = \frac{- (2 \ln (2)) - \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Paso 9.3.2.4

Factoriza $- 1$ de $- (2 \ln (2)) - \ln (\frac{3}{14})$ .

$x = \frac{- (2 \ln (2) + \ln (\frac{3}{14}))}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Paso 9.3.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 9.3.2.5.1

Reescribe $- (2 \ln (2) + \ln (\frac{3}{14}))$ como $- 1 (2 \ln (2) + \ln (\frac{3}{14}))$ .

$x = \frac{- 1 (2 \ln (2) + \ln (\frac{3}{14}))}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Paso 9.3.2.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{2 \ln (2) + \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{2 \ln (2) + \ln (\frac{3}{14})}{2 \ln (2) + \ln (3)}$

Forma decimal:

$x = 0.06203479 \dots$