Preálgebra Ejemplos

$2^{2 x} - 2^{x - 1} - 2^{2} + 2 < 0$

Paso 1

Reescribe $2^{x - 1}$ como $2^{x} \cdot 2^{- 1}$ .

$2^{2 x} - (2^{x} \cdot 2^{- 1}) - 2^{2} + 2 = 0$

Paso 2

Reescribe $2^{2 x}$ como exponenciación.

${(2^{x})}^{2} - (2^{x} \cdot 2^{- 1}) - 2^{2} + 2 = 0$

Paso 3

Elimina los paréntesis.

${(2^{x})}^{2} - 2^{x} \cdot 2^{- 1} - 2^{2} + 2 = 0$

Paso 4

Sustituye $u$ por $2^{x}$ .

$u^{2} - u \cdot 2^{- 1} - 2^{2} + 2 = 0$

Paso 5

Simplifica cada término.

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Paso 5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u^{2} - u \cdot \frac{1}{2} - 2^{2} + 2 = 0$

Paso 5.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $u$ .

$u^{2} - \frac{u}{2} - 2^{2} + 2 = 0$

Paso 5.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$u^{2} - \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 + 2 = 0$

Paso 5.4

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$u^{2} - \frac{u}{2} - 4 + 2 = 0$

Paso 6

Suma $- 4$ y $2$ .

$u^{2} - \frac{u}{2} - 2 = 0$

Paso 7

Resuelve $u$

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Paso 7.1

Multiplica por el mínimo común denominador $2$ , luego simplifica.

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Paso 7.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 u^{2} + 2 (- \frac{u}{2}) + 2 \cdot - 2 = 0$

Paso 7.1.2

Simplifica.

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Paso 7.1.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.1.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{u}{2}$ al numerador.

$2 u^{2} + 2 (\frac{- u}{2}) + 2 \cdot - 2 = 0$

Paso 7.1.2.1.2

Cancela el factor común.

$2 u^{2} + 2 (\frac{- u}{2}) + 2 \cdot - 2 = 0$

Paso 7.1.2.1.3

Reescribe la expresión.

$2 u^{2} - u + 2 \cdot - 2 = 0$

Paso 7.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$2 u^{2} - u - 4 = 0$

Paso 7.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 7.3

Sustituye los valores $a = 2$ , $b = - 1$ y $c = - 4$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 4)}}{2 \cdot 2}$

Paso 7.4

Simplifica.

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Paso 7.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.4.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot - 4}}{2 \cdot 2}$

Paso 7.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 4$ .

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Paso 7.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot - 4}}{2 \cdot 2}$

Paso 7.4.1.2.2

Multiplica $- 8$ por $- 4$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 32}}{2 \cdot 2}$

Paso 7.4.1.3

Suma $1$ y $32$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 2}$

Paso 7.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{4}$

Paso 7.5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = \frac{1 + \sqrt{33}}{4}, \frac{1 - \sqrt{33}}{4}$

Paso 8

Sustituye $\frac{1 + \sqrt{33}}{4}$ por $u$ en $u = 2^{x}$ .

$\frac{1 + \sqrt{33}}{4} = 2^{x}$

Paso 9

Resuelve $\frac{1 + \sqrt{33}}{4} = 2^{x}$ .

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Paso 9.1

Reescribe la ecuación como $2^{x} = \frac{1 + \sqrt{33}}{4}$ .

$2^{x} = \frac{1 + \sqrt{33}}{4}$

Paso 9.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (2^{x}) = \ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})$

Paso 9.3

Expande $\ln (2^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (2) = \ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})$

Paso 9.4

Divide cada término en $x \ln (2) = \ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})$ por $\ln (2)$ y simplifica.

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Paso 9.4.1

Divide cada término en $x \ln (2) = \ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})$ por $\ln (2)$ .

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

Paso 9.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.4.2.1

Cancela el factor común de $\ln (2)$ .

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Paso 9.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

Paso 9.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

Paso 10

Sustituye $\frac{1 - \sqrt{33}}{4}$ por $u$ en $u = 2^{x}$ .

$\frac{1 - \sqrt{33}}{4} = 2^{x}$

Paso 11

Resuelve $\frac{1 - \sqrt{33}}{4} = 2^{x}$ .

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Paso 11.1

Reescribe la ecuación como $2^{x} = \frac{1 - \sqrt{33}}{4}$ .

$2^{x} = \frac{1 - \sqrt{33}}{4}$

Paso 11.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (2^{x}) = \ln (\frac{1 - \sqrt{33}}{4})$

Paso 11.3

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (\frac{1 - \sqrt{33}}{4})$ es indefinida.

Indefinida

Paso 11.4

No hay soluciones para $2^{x} = \frac{1 - \sqrt{33}}{4}$

No hay solución

Paso 12

Enumera las soluciones que hacen que la ecuación sea verdadera.

$x = \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

Paso 13

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

Paso 14

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x < \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, \frac{\ln (\frac{1 + \sqrt{33}}{4})}{\ln (2)})$

Paso 15