Preálgebra Ejemplos

$\frac{x - 3}{(x - 1) (x + 2)} < 0$

Paso 1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Paso 2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 3

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 4

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 5

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 3$

$x = 1$

$x = - 2$

Paso 6

Consolida las soluciones.

$x = 3, 1, - 2$

Paso 7

Obtén el dominio de $\frac{x - 3}{(x - 1) (x + 2)}$ .

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Paso 7.1

Establece el denominador en $\frac{x - 3}{(x - 1) (x + 2)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$(x - 1) (x + 2) = 0$

Paso 7.2

Resuelve $x$

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Paso 7.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Paso 7.2.2

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.2.2.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 7.2.2.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 7.2.3

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.2.3.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 7.2.3.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 7.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 1) (x + 2) = 0$ verdadera.

$x = 1, - 2$

Paso 7.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$1 < x < 3$

$x > 3$

Paso 9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 9.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 9.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$\frac{(- 4) - 3}{((- 4) - 1) ((- 4) + 2)} < 0$

Paso 9.1.3

$- 0.7$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 9.2

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 9.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{(0) - 3}{((0) - 1) ((0) + 2)} < 0$

Paso 9.2.3

$1.5$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 9.3

Prueba un valor en el intervalo $1 < x < 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.3.1

Elije un valor en el intervalo $1 < x < 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 9.3.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$\frac{(2) - 3}{((2) - 1) ((2) + 2)} < 0$

Paso 9.3.3

$- 0.25$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 9.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 9.4.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$\frac{(6) - 3}{((6) - 1) ((6) + 2)} < 0$

Paso 9.4.3

$0.075$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 9.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 1$ Falso

$1 < x < 3$ Verdadero

$x > 3$ Falso

$x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 1$ Falso

$1 < x < 3$ Verdadero

$x > 3$ Falso

Paso 10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 2$ o $1 < x < 3$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x < - 2 or 1 < x < 3$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 2) \cup (1, 3)$

Paso 12