Preálgebra Ejemplos

$\frac{x}{1 - x} > 1$

Paso 1

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{x}{1 - x} - 1 > 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{x}{1 - x} - 1$ .

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Paso 2.1

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$\frac{x}{1 - x} - 1 \cdot \frac{1 - x}{1 - x} > 0$

Paso 2.2

Combina $- 1$ y $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$\frac{x}{1 - x} + \frac{- (1 - x)}{1 - x} > 0$

Paso 2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x - (1 - x)}{1 - x} > 0$

Paso 2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x - 1 \cdot 1 - - x}{1 - x} > 0$

Paso 2.4.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x - 1 - - x}{1 - x} > 0$

Paso 2.4.3

Multiplica $- - x$ .

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Paso 2.4.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x - 1 + 1 x}{1 - x} > 0$

Paso 2.4.3.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{x - 1 + x}{1 - x} > 0$

Paso 2.4.4

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{2 x - 1}{1 - x} > 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$2 x - 1 = 0$

$1 - x = 0$

Paso 4

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 1$

Paso 5

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 5.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Paso 6

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 1$

Paso 7

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 7.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1$

Paso 8

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = \frac{1}{2}$

$x = 1$

Paso 9

Consolida las soluciones.

$x = \frac{1}{2}, 1$

Paso 10

Obtén el dominio de $\frac{2 x - 1}{1 - x}$ .

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Paso 10.1

Establece el denominador en $\frac{2 x - 1}{1 - x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$1 - x = 0$

Paso 10.2

Resuelve $x$

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Paso 10.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 1$

Paso 10.2.2

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 10.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 10.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 10.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 10.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.2.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1$

Paso 10.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 11

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 1$

$x > 1$

Paso 12

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 12.1

Prueba un valor en el intervalo $x < \frac{1}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < \frac{1}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 12.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{0}{1 - (0)} > 1$

Paso 12.1.3

$0$ del lado izquierdo no es mayor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 12.2

Prueba un valor en el intervalo $\frac{1}{2} < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.2.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{1}{2} < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0.75$

Paso 12.2.2

Reemplaza $x$ con $0.75$ en la desigualdad original.

$\frac{0.75}{1 - (0.75)} > 1$

Paso 12.2.3

$3$ del lado izquierdo es mayor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 12.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 12.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{4}{1 - (4)} > 1$

Paso 12.3.3

$- 1.\overline{3}$ del lado izquierdo no es mayor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 12.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < \frac{1}{2}$ Falso

$\frac{1}{2} < x < 1$ Verdadero

$x > 1$ Falso

$x < \frac{1}{2}$ Falso

$\frac{1}{2} < x < 1$ Verdadero

$x > 1$ Falso

Paso 13

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$\frac{1}{2} < x < 1$

Paso 14

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$\frac{1}{2} < x < 1$

Notación de intervalo:

$(\frac{1}{2}, 1)$

Paso 15